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La théorie de la réduction de cette forme comprend en particulier le pro- 

 blème suivant : 



» Tromper les conditions nécessaires et suffisantes pour que la forme iT di' 

 soit réductible à la suivante 



2T dl"- =dy] + ...^ dy; + fidfp^, ,..., dy,.), 



les coefficients de f étant indépendants de y,, . ., y^,. Effectuer la réduction 

 dans les cas où elle est possible. 



» J'ai été conduit à la solution de ce problème de la manière suivante. 

 Considérons le système invariant 



lié à la forme ï et que j'ai déjà défini (i5 mai). Les intégrales du premier 

 degré en x',, . . . , x. de ce système ont la forme 



^ - 2à dx]' ' 



i 



et sont définies par le système déjà mentionné 



(2) MA* = ; f- > b", -. = O. 



le 



» Ce système est aussi invariant, comme le montre la formule 



(3) •■'.■«=22vv.,£ïg. 



M De là résulte une classification des formes T : la forme T sera dite de 

 la classe p, si le système (2) admet précisément /; solutions distinctes, 

 p pouvant d'ailleurs être nul. (On fait abstraction de la solution banale 

 = const.). Pour reconnaître a priori la classe d'une forme donnée, nous 

 ferons usage d'un invariant particulier J, défini par 



(4 ) J = 22 "'M 'Z^-,- Sa-, = 2 S w«p "^^^ ^^?- 



I I, a. 'fi 



» A cet effet, supposons les dx et ^x définis par les systèmes invariants 



V fi,A dX/, = ^ dl, ^ Ou, txu =^ ^ S^ 



