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où et ç sont deux fonctions arbitraires des .r. Alors J devient un para- 

 mètre différentiel du second ordre de la forme T. On trouve que 



» La quantité A désigne ici, suivant l'usage, le paramètre différentiel 



Ao= vylL^jaiL. 



i k 



)) Les formules (4) et (5) vont nous permettre de caractériser la classe 

 (/)) de la forme T. Soit en effet (y,, .... y,,) un système de solutions dis- 

 tinctes du système (2 ). Pour f) =,y, l'invariant J est nul, quelle que soit la 



fonction cp, donc 



A(j',) = const.; 

 on en déduit 



^(J/'Ja) = const. 



M II est aisé de voir qu'on peut choisir le système de solutions de ma- 

 nière que 



A (y,) = I , A (Vi, yh) = o 'V -î-. 



» Cela posé, considérons le système d'équations distinctes 



S,(/) -AO',, /) = n, /=.r.2 p. 



» Ce système admet n — p intégrales distinctes JVi ' ■ • ■ • Jn» ^^'' 



s,s,(7;)-s,s,^/) = o. 



» Choisissons comme nouvelles variables les fonctions distinctes 

 }',. . . . Y p. ■ ■ ■ . y,,' alors la forme T devient 



(G) 2 T (h- = dy] -1- . . . :- dy],+ [{dy^^, , ..., dy,,), 



et comme 7,, .... y' doivent être des intégrales du premier degré du 

 système 



(7) 4.rSW^=0, /=:..2 .,, 



il en résulle 



» La forme/ a donc ses coefficients indépendants de j, , .... y p. Réci- 



