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proqiiement, si la formule (G) est applicable, la forme T appartieiiL à la 

 classe (yo). Donc : 



« Pour que la forme iTdt'- soit réductible à la suivante 



(1) ^Tdl"- = dy\ -r . . . + dyl +f{dy^^, . . . dy/), 



où les coefficients de la/orme quadratique f so/U indépendants dey, .... ,yp, 

 il faut et il suffit quelle soit de la classe (^p), c'est-à-dire que le système inva- 

 riant (2) admette précisément p solutions distinctes, 



» La démonstration précédente met d'ailleurs en évidence les intégra- 

 tions à effectuer pour réduire une forme T de la classe (^) à la forme (I). 

 Pour^ = n, on ret:ombe sur la solution que j'ai donnée dans ma dernière 

 Communication. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration de certains systèmes d'équa- 

 tions aux dérivées partielles du premier ordre impliquant plusieurs fonctions 

 inconnues. Note de M. Riquier, présentée par M. Darboux. 



« Étant donné un système du premier ordre résolu par rapport à un 

 certain nombre de dérivées, on peut, pour en disposer nettement les di- 

 verses équations, les écrire dans les cases d'un quadrillage rectangulaire 

 dont les lignes correspondent aux variables indépendantes et les colonnes 

 aux fonctions inconnues, en mettant l'équation qui aurait, par exemple, 



-j- pour premier membre, dans la case qui appartient à la fois à la co- 

 lonne (m) et à la ligne (a-). Cela posé, si les cases vides du tableau résultant 

 sont toutes situées dans une même colonne, si de plus le système considéré est 

 complètement intégrable ('), son intégration se ramène à celle de systèmes 

 complètement intégrables d'équations différentielles totales. 



» I. Cas d'un système linéaire. — Je supposerai, pour fixer les idées, que 

 le système implique trois fonctions inconnues u, v, w de cinq variables. 



(') La théorie des systèmes difTérentiels quelconques est réducliljle, dans les circon- 

 stances générales, à celle des systèmes linéaires complètement inléy;rables du premier 

 ordre : c'est ce que j'ai établi dans diverses Notes communiquées à l'Académie 

 (28 mars 189a, 27 février iSgS, 24 avril iSgS) et dans un Mémoire in extenso adressé 

 dernièrement à M. le Secrétaire perpétuel. Le type de système dillerentiel qui fait 

 l'objet de la présente Note n'est pas assujetti à être linéaire, mais il est, comme ceux 

 dont je viens de parler, complètemeiil intégrable et du premier ordre. 



