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qui, jointes à (3), (4) et (5), constituent un système équivalent au pro- 

 pose. En désignant par / une fonction inconnue de huit variables a;, y, 

 z, s, t, u, c, w, et par/,, /„ /„ /,, /„ f, six intégrales particulières dis- 

 tinctes du système linéaire et homogène complètement intégrable 



1^ - ^■■^Tz'^^^'ds + ^'dt ^- da ~ ^- d, ^^^d.v' 

 df y df ^df df ,,,dl_ _ ^n>df_ w ^, 



Ty-^yTz'^^y^h'^ ^>dt ^y du ^.>- ^,. ^v^.v' 



la solution générale du groupe [(6), (7)], considéré isolément, s'obtiendra 

 en égalant/,,, /j,/; à trois fonctions arbitraires de/,, /o./a- 



» Cela étant, supposons que l'on veuille déterminer, parmi les solu- 

 tions du système proposé, toutes celles oi!i la fonction w se réduit, pour 

 a- _ j-^ 3= y — y^ = o, il G (z, s, t). On conservera, à cet effet, les variables 

 indépendantes x, y, et on changera les trois dernières z, s, t, ainsi que les 

 fonctions inconnues u, v, w, en prenant à leur place pour nouvelles 

 variables les quantités ^, c,t, et pour nouvelles fonctions inconnues u, ç, <]/ 

 que définissent les relations 



(8) /, = •(, /,-., /, = T. /. = ., /,= ?, /» = f 



Faisant, dans^ces dernières, x — x^, y —Jo et^^' = G(-, s, t), on éliminera 

 z-, s,l, u, V entre les formules ainsi obtenues, ce qui donnera la relation 



(9) i2('C,cr, T,u,(p,'i) = o. 



Enfin on effectuera le changement de variables (8) dans les équations (3), 

 (4) et (5) en tenant compte de la relation (9), et on tombera finalement 

 sur un système complètement intégrable d'équations différentielles totales 

 impliquant deux fonctions inconnues des seules variables ^, a, t. On en 

 formera les intégrales générales, on adjoindra à celles-ci la relation (9), 

 et on reviendra aux anciennes variables. 



» II. Cas d'un système non linéaire. — Je supposerai, pour fixer les 

 idées, que le système donné 1, composé de quatre équations, implique 

 deux fonctions inconnues u, v des trois variables indépendantes x, y, z, et 

 que toutes les cases du Tableau sont pleines, à l'exception des cases (y) 

 et (z) de la colonne (v). Pour trouver, parmi les solutions du système 2, 

 toutes celles où v se réduit, pour x ■= x^, à F(j, =). on procédera comme 



il suit : i" on adjoindra à i l'équation -^ —1 (x,y, :,u, v, ^b et l'on rem- 



