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). Il suffit d'établir ce théorème pour le cas où G est positif; alors, 

 quand T contient une substitution circulaire d'ordre 3, on trouve deux ca- 

 tégories de groupes primitifs, que l'on peut former directement; quand T 

 ne contient pas de substitution circulaire d'ordre 3, on sait, d'après M. Bo- 



chert ('), que pn'est pas inférieur à (^j! ou i—~—]^- suivant que « est pair 



ou impair; la démonstration s'achève en s'appuyant sur le lemme sui- 

 vant : 



» Lemme I. — Dans un groupe G' deux fois transitif quelconque, de degré p, 

 d'ordre (/, une substitution quelconque a toujours au moins p — i transfor- 

 mées distinctes ; par suite, le nombre des substitutions échangeables à une sub- 



stilution quelconque de ce groupe est 5 — ^- • 



)) Théorème II. — G ne peut contenir un groupe K transitif entre les lettres 

 qu'il déplace et de degré <^ p, si > 8. 



» Théorème III. — En général, G ne peut renfermer de substitution circulaire 

 quand n > 8. Cependant il existe des groupes G de degré in (n, impair^, non 

 primitifs, contenant une substitution circulaire d'ordre 2n, et pour lesquels H 

 est lioloédriquement isomorphe au groupe alterné de n — i éléments. 



M La démonstration s'appuie sur les lemmes suivants : 



» Lemme II. — Un groupe transitif ne peut renfermer de substitution cir- 

 culaire (tordre h que s'il est primitif ou composé avec un sous-groupe d'ordre 

 non premier à h . 



» Lemme III. — Un groupe primitif de degré f ne peut renfermer de sub- 

 stitution circulaire d'ordre h que si h = p ou si le groupe est deux fois tran- 

 sitif. 



» Ce dernier lemme est une conséquence directe d'un théorème de 

 M. Jordan (-). 



II. — S est un groupe alterné. 



» Les raisonnements et les propriétés sont analogues : 

 » Théorème IV. — En général, G n^est qu'une fois transitif; les seules ex- 

 ceptions, correspondant à des groupes connus, ont lieu pour n^S, p pouvant 

 prendre les valeurs ï5, lo et 6. 



» Théorème V. — G ne peut contenir un groupe K transitif entre les lettres 

 qu'il déplace et de degré <C p, si n > 8. 



(') Mathematische Annalen, t. XXXIII, p. 584. 



(') Journal de Liouville, 2" série, t. XVI, p. 384; 1871. 



