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 l'avoir simplifié et abrégé, on aurait pour résultat une équation 



[(/, m, s) (k, r,s) — (k, m, s) (/, r, s) -+- (m, r,s') {k, l, .v)]A,,,- 



— [(/, m, s){i,r,s) — (i,m, s)(/,r,s) + (m,r,s)(i,l, 5)]A,,a 

 + [(/c, m, s) (i, r, s) — (i, m, s) (k, r, s) +- (m, r, s) (i, k, s)]A,j 



— [(k, l, s) (i, r, s) — (i, I, s) (k, r, s) -h (/, r, s) (i, k, *)] A,,;„ 

 -i-[(k, l,s)(i,m,s) ~ {i,l,s)(k,m,s) -h (l,m,s) (i, k, s)]k,^r 



— [(k, l, r) (i, m, r) — (i, /, r) (k, m, r) -h (/, m, r) (i, k, r)\ A,.,= o. 



» En changeant les indices, nous écrirons sept équations semblables, 

 et notamment : pour l'équation deuxième, nous mettrons l à la place de s, 



ou emploierons la substitution ; pour la troisième, nous emploierons la 



substitution ' ; pour la quatrième ' ' ; pour la cinquième 



t, s, r, m j , ■ -, ( t, s, r, m, l \ p , 



, ; pour la sixième , , ; enfin, pour la septième 



s, r, m, l ) ' ( s, r, m, l, k \ ^ i 



t, s, r, m, l, k } 

 s, r, m, l, k, i ) 



» Le déterminant du système ci-dessus des sept équations sera égal à zéro, 

 comme gauche symétrique de degré impair et, par conséquent, nous aurons 



A,,- : A,,, : A,, : A,,,„ : A,, : A,,, : A,,,= w, : w, : VV3 : w, : w, : w„ : w„ 



où Ws désigne les déterminants mineurs du déterminant susmentionné. 

 Parce que Ton peut déduire le même système et pour les coefficients A,,*, 

 de même que pour A.^/^, il résulte facilement la conclusion que les déter- 

 minants mineurs Wj doivent être égaux à zéro. Les déterminants W^ ont 

 un facteur commun et représentent une seule condition d'intégrabilité dans 

 la forme de la fonction du Pfaff : 



(A-, /, m,r, () [(i, l,m,s, t) (i, k, r, s, t) — (i, k, /??, s, l) (i, /, r, s, t) 



-h (i, k, l, s, t) (i, m, r, s, t)\ 



— («', /, m, r, t) [{k, l, m, s, t) (i, k, r,s,t) — (i, k, m, s, t)(k, l, r, s, t) 



+ (/, k, l, s, t) (k, m, r, s, t)] 



->r (i, k,m, r, t) \{k, l, m, s, t) (i, l, r, s, l) — (/, /, m, s, l) (k, l, r, s, t) 



-+- (ï, k, l, s, t) (/, m, r, s, t)] 



— (i, k, l, r, t)\{k, l, m, s, t) (i,m,r,s,t) — {i,l,m,s, t)(k,m, r, s, t) 



-+- (i, k, m, s, t) (/, m, r, s, t)] 



-h(i,k,l,m,l)[{k, /, r, s, t) (i,m, r, 5, /") — (/, /, r,s, t) (k, m, r, s,t) 



-+- (i,k, r, s, t) (/, m, r, s,t)] = o, 



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