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 où, pour abréger, nous avons employé la désignation : 



(p, -7, T, l, <p) = (t, T, <p) (p, l, <p) — (p, T, 9) (t, ;, Cp) 4- (t. Ç, (p) (p, 5, ç). 



)) La valeur du symbole (a, b, c) est (8). 



» Des conditions telles que (9) on peut écrire autant qu'il y a de com- 

 binaisons par sept des nombres 1,2, ..., n. 



» Selon la méthode semblable, on peut ainsi trouver les conditions d'in- 

 tégrabilité, quand dans l'équation (2) n^g et le nombre d'intégrales est 

 quatre. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur une autre détermination du cercle dérivé de sept droites, 

 et sur quelques-unes de ses applications. Note de M. Paul Serret. 



« 1. On a vu déjà que la seule définition analytique des cercles ou des 

 sphères 2^/, T" = o, dérivés d'une enveloppe de classe n, implique intuiti- 

 vement l'existence d'une sphère ou d'un cercle fixes, concentriques à l'en- 

 veloppe considérée et orthogonaux à tous les précédents. 



» Que si l'on ajoute celle autre notion, également intuitive, de l'exis- 

 tence d'un cercle ou d'une sphère déterminés, définis par l'équation 

 ^^/jT" = o, où V a pour valeur N — 2 ou N — 3, on en conclut, sans autre 

 démonslralion, que « le lieu du centre des enveloppes de classe//, inscrites 

 » à un groupe tangenliel de v cléments, et dont le cercle directeur ou la 

 » sphère directrice ont un rayon donné R, n'est autre que le cercle ou la 

 » sphère définis par la double équation 



o^iy.T;— R-=(j?— oc )- + ... — p- ». 



C'est, comme on le voit, le théorème de Steiner sur « le lieu du centre 

 » des coniques, inscrites à un triangle, et dont les carrés des axes princi- 

 » paux conservenl une sonuiie constante », étendu intuitivement aux 

 enveloppes, planes ou solides, de toutes les classes. 



» 2. On trouve une autre application des cercles dérivés, et d'autres 

 analogies tout aussi générales, en considérant, avec la série des paraboles 

 (P„) de classe n, inscrites à un groupe donné de N — 2 droites, la série 

 correspondante des paraboles du second degré (P2), « coniques polaires » 

 de la droite de l'infini, Z = i , par rapport à celles-là. En effet, on reconnaît 

 aussitôt que les directrices des paraboles (P/) concourent en un même 



c. ;i., 1I44, 2" Seineslre. ( I. CXIX, N 1.) '^4 



