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les conditions dans lesquelles les cc-"~^ mouvements du système qui cor- 

 respondent à une valeur déterminée, d'ailleurs arbitraire, de la con- 

 stante h, admettent une transformation infinitésimale 



p/=2-(/'"/'^----'^"^^' 



dans laquelle les coefficients ;,, Ço, . . -, ^v sont indépendants de la con- 

 stante h. 



» Rejetant le cas où la fonction des forces n se réduit à une constante, 

 qui exige une discussion spéciale, j'ai trouvé : 



» 1° Que la fonction n(p,, p.,, . .., p„) doit être un invariant de la trans- 

 formation Vf ; 



» 2° Que cette transformation doit être con/o/me et relative à l' expression 

 différentielle 



A =^ai:,dpi,dpx; 



» 3° Que les gèodésiques de la variété dont le carré de l'élément linéaire 

 est donné par A, admettent la transformation Vf. 



» Au mois de mai 189,^, j'avais soumis ces résultats à M. Sophus 

 Lie, qui voulut bien les présenter à la Société royale des Sciences de 

 Leipzig. Mais il restait à résoudre une question importante; car, étant 

 proposé un problème de Dynamique, on n'était pas encore en état de 

 reconnaître s'il satisfaisait ou non aux conditions énoncées ci -dessus. 

 J'ai réussi à combler cette lacune et je prends la liberté de communi- 

 quer à l'Académie la solution; elle est plus simple qu'on ne pouvait s'y 

 attendre. 



Une transformation infinitésimale P^, qu'admettent les « — i équations 

 différentielles entre />,, /?o, ..., p,„ n'existe que quand on jieut choisir les 

 variables p,, p.^, . . ., p,^, de telle sorte que : 



)) 1° La fonction des forces II dépende seulement de p., p^, ... /■<„ ; 



» 2° L'expression de la force vive se réduise à 



î'-iM/;../' p^^% 



c est une constante arbitraire et les coefficients b,i dépendent seulement des 

 arguments p„ p^, ..., p„. 



