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 » Alors la transformation infinitésimale P^ a la forme canonique 





» Ces conditions sont nécessaires et suffisantes . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations linéaires aux dérivées par- 

 tielles du second ordre. Noie de M. A. Petot, présentée par M. Dar- 

 boiix. 



« On sait que chaque solution particulière d'une équation harmonique 

 donne naissance à une solution nouvelle; je vais montrer qu'il en est 

 de même pour une équation quelconque de Laplace. Cela résulte de la 

 relation suivante, qui existe entre une pareille équation et son adjointe : 



» Quand on connaît quatre solutions particulières d'une équation de la 

 forme 



d-\ cl\ j d). 



^ ■" aiiav du c/c 



on peut construire explicitement deux formules A et B, permettant de passer, 

 en effectuant seulement des différentiations et des quadratures , de chaque 

 solution particulière nouvelle 1 de cette équation à une solution [x de son ad- 

 jointe; et inversement. 



» Comme on peut remplacer par 1 l'une quelconque des quatre solu- 

 tions particulières >,,, 1.,, 1^, 1,, d'où l'on est parti, et réciproquement, on 

 obtiendra, en résumé, non pas seulement une solution de l'équation ad- 

 jointe, mais bien cinq solutions de cette équation. De même, si l'on 

 connaît les cinq solutions particulières 'X,, T^o, X3, X^, jx, on en déduira une 

 cinquième de l'équation (i) et quatre nouvelles de son adjointe. 



» Pour établir ce premier résultat, remarquons que les solutions 1,, 1^. 

 1^, lu sont les paramètres du jjlan tangent d'une certaine surface S, sur 

 laquelle les lignes de coordonnées (v) et (m) sont conjuguées, et qu'en 

 outre la cinquième solution particulière 1 permet de mener, par chaque 

 point M de celte surface, une droite D te*l!e que les développables de la 

 congruence engendrée G correspondent au réseau («,('). Si l'on désigne 

 par G l'une des nappes de la surface focale de G, on sait que la détermi- 

 nation des surfaces 1, découpées suivant un réseau conjugué par les 



