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développables de cette congruence, revient à l'intégration de l'équation 

 linéaire a, vérifiée par les quatre coordonnées homogènes de chaque point 

 de ç. De même, la détermination des congruences H, formées de parallèles 

 aux normales de c , et dont les développables correspondent au réseau 

 (u, i'), dépend de l'équation P' adjointe _à l'équation p, vérifiée par les pa- 

 ramètres du plan tangent à a. Comme la surface connue S est l'une de 

 celles désignées par 2, on en déduit une solution particulière de l'équa- 

 tion a, et par suite une solution de [i', qui donne une îles congruences H. 

 Pour chaque droite de cette congruence, l'un des plans focaux est per- 

 pendiculaire à la droite D correspondante ; si donc on mène par le foyer vs, 

 relatif au deuxième plan focal, une perpendiculaire D, au plan tangent à 

 S, on obtient, comme je l'ai montré dans une Note antérieure, une con- 

 gruence G, dont les développables correspondent aussi au réseau conju- 

 gué (u, r) de S. La distance focale de cette dernière congruence est alors 

 une solution particulière de l'équation adjointe à celle vérifiée par les 

 cosinus directeurs de la normale à S; on en déduit >nie solution particu- 

 lière de l'équation adjointe à la proposée (i), ce qui établit finalement 

 la formule indiquée A. Les mêmes considérations, développées dans un 

 ordre inverse, conduisent d'ailleurs à la formule B. 



» Si maintenant on connaît quatre solutions particulières de l'équa- 

 tion (i), et autant de son adjointe, on peut construire les formules A et B, 

 et deux formules analogues A' et B' où l'équation adjointe joue le rôle de 

 la proposée. On passe alors d'une solution particulière \ de l'équation (i) 

 à une solution (X de son adjointe, à l'aide de la formule A; puis, de jy. à 

 une solution nouvelle V de la proposée, à l'aide de la formule A'. 



» On peut aussi remplacer dans les formules A et B une des quatre solu- 

 tions particulières employées par une cinquième 'Xj, ce qui donne deux nou- 

 velles formules A, et B, analogues aux premières. Après être passé de a ;i 

 II. à l'aide de la formule A, on doit, pour revenir a\, employer B; si au 

 contraire on emploie B,, on obtient une solution >., de l'équation (i), dis- 

 tincte de celle d'où l'on est parti. 



1) On a, en résumé, le théorème suivant : 



« Chaque solution particulière d'urw. équation de Laplace quelconque donne 

 naissance à une solution nouvelle, celle-là à une troisième et ainsi de suite, par 

 l'emploi répété d'une formule où interviennent seulement des diffèrentialions et 

 des quadratures. Pour que l'on puisse construire explicitement cette formule, il 

 suffit que Von connaisse cinq solutions particulières de Céquation proposée, ou 

 encore quatre solutions de cette équation et une de son adjointe. 



