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d'une équation linéaire; la proposition fondamentale à ce sujet consiste 

 en un théorème et sa réciproque, celle-ci étant énoncée dans mon Mé- 

 moire avec une restriction inutile. Ces questions ont été approfondies ré- 

 cemment par M. Vessiot dans une Thèse extrêmement remarquable ; mais 

 M. Vessiot se place dans son travail à un tout autre point de vue que moi, 

 et la marche que j'ai suivie pour poser les bases de cette théorie, marche 

 qui se rapproche beaucoup de celle de Galois pour les cquatious algé- 

 briques, me paraît à divers égards préférable. Je crois donc utile de re- 

 prendre complètement la question en comblant la légère lacune que j'avais 

 laissée subsister dans la réciproque du théorème fondamental. 



)i 1. Plaçons-nous d'abord dans le cas, le plus simple et le plus intéres- 

 sant sans doute pour les aj)plications, d'une équation linéaire à coefficients 

 rationnels. Soit donc 



une telle équation, où nous supposons que les coefficients sont des fonc- 

 tions rationnelles de .r, et soit y^, r^, ..., jm un système fondamental 

 d'intéerrales. 



» J'envisage l'expression suivante 



V = A,,j,-f-...+ A,,„7,„-f- A,, ^-H...+ A„„^'-^...+ A,„,„-^^, 



qui est, comme on voit, une expression linéaire et homogène par rapport 

 aux j et leurs dérivées jusqu'à l'ordre m — \. Les coefficients A sont des 

 fonctions rationnelles de x arbitrairement choisies. Cette fonction V satis- 

 fait à une équation linéaire d'ordre w? facile à former; désignons-la par 



(2) - 5^ + ^. ZP^=- +•••+?'«■ V = o. 



On a, d'ailleurs, en difïérentiant V un nombre de fois égal à nr — i, 

 m- équations du premier degré par rapport aux y et leurs dérivées, qui 

 donnent 





où les a, p, . . ., > sont rationnelles en x. 



