o, 



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» A toute intégrale de l'équation (2) correspond un système d'inté- 

 grales j,, Yi, •••. Jm (le l'équation (i); ce système pourrait n'être pas 

 fondamental. Cela arriverait si le déterminant des y et de leurs dérivées 

 jusqu'à l'ordre m — i était nul; en écrivant ceci, on obtiendra une cer- 

 taine équation en V, 



(3) n^'^'5i'---'^j 



k étant au plus égal à m^ — i . 



» On aura donc un système fondamental y,, jo, ....j^ si l'on prend 

 pour V une intégrale de l'équation (2) ne satisfaisant pas à l'équation (3). 



» Ceci posé, il arrivera en général, c'est-à-dire si l'équation (i) est prise 

 arbitrairement, que l'équation (2) n'aura aucune solution commune avec 

 une équation différentielle (linéaire ou non linéaire) à coefBcients ra- 

 tionnels, d'ordre intérieur à m-, si l'on fait abstraction des solutions qui 

 satisfont à l'équation (3). Mais^il pourra, dans certains cas, en être au- 

 trement; supposons donc que l'équation différentielle d'ordre /j 



(4) A^'^'^^-'""^)^^ 



(/ étant un polynôme) remplisse cette condition. Je suppose, de plus, 

 l'équation précédente irréductible, c'est-à-dire n'ayant aucune solution 

 commune avec une équation de même forme et d'ordre moindre; dans ces 

 conditions toutes les fonctions V satisfaisant à l'équation (4) satisferont à 

 l'équation (2), et, de plus, l'équation (4) n'aura avec l'équation (3) au- 

 cune solution commune; par suite à chaque solution de/— o correspond 

 un système fondamental d'intégrales pour l'équation linéaire proposée. 

 » Soit donc j,, . . ., y^ le système fondamental correspondant à une cer- 

 taine solution de l'équation /"= o et Y,, . . ., Y,„ le système correspondant 

 à une solution quelconque de la même équation ; on aura 



Yo = «2, V, + . . . -I- a,^ j,„, 



••" ••• f 



Y,„ = «„„ j, + . . . + «„,„ j,„. 



Les coefficients a dépendent seulement àe p paramètres arbitraires, et l'on 

 voit très facilement qu'on peut les considérer comme des fonctions algé- 

 briques de ces paramètres ; de plus, ces substitutions forment un groupe. 

 Je désigne oar G le groupe continu et algébrique de transformations 



