( -^s? ) 



linéaires défini par les équations (S), et je l'appelle le groupe de trans- 

 formations relatif à l'équation linéaire (i). 



» 2. On peut établir, à l'égard de ce groupe, la proposition suivante 

 qui rappelle le théorème fondamental de Galois dans la théorie des équa- 

 tions algébriques : 



» Toute fonction rationnelle de x, de y^, y.,, • ■ -, y,,, ci de leurs dérivées, 

 s' exprimant rationnellement en fonction de x, reste invariable quand on 

 effectue sur y ^ ^ y-n ••■■> Jm les substitutions du groupe G. 



)) Considérons en effet une telle fonction; en y remplaçant j,, y^, .. ., 

 Yn pai" leur valeur en fonction de V, et égalant à une fonction rationnelle, 

 on aura 



F et R étant rationnelles. Or cette équation se trouvera vérifiée pour une 

 certaine solution V àe f =^ o; elle le sera par suite pour toutes les solutions 

 d'après l'irréductibilité de cette dernière équation. Ceci revient à dire que 

 la fonction rationnelle considérée ne change pas quand on effectue sur 

 _7,, j'o, . . ., y,n la substitution S. 



» 3. Ce qui précède reproduit ce que j'avais déjà dit antérieurement. 

 Arrivons maintenant au théorème réciproque. Nous allons montrer que : 



» Toute fonction rationnelle de œ, y, , y^, . . . , j,„ et leurs dérivées qui reste 

 invariable par les substitutions du groupe G est une fonction rationnelle de x. 



« Je ne l'ai démontré (^Annales de Toulouse, t. I, p. 5) que si l'équation 

 linéaire proposée a son intégrale régulière dans le voisinage de chaque 

 point singulier (pour les autres cas, j'énonçais fonction uniforme de x 

 au lieu de fonction rationnelle de x'). Cette restriction est inutile, et nous 

 allons facilement démontrer le théorème. Soit $(.ï", y^, . . ., y,„, . . .) une 

 fonction satisfaisant aux conditions de l'énoncé; il faut montrer que, si 

 l'on met à la place dej,,^,. .. ..J'jn un certain système fondamental, la 

 fonction $ sera une fonction rationnelle de x. Or remplaçons les y et 

 leurs dérivées par leurs valeurs en fonction de V, nous aurons 



» Je dis que, si l'on prend pour V une intégrale quelconque de (4)» 

 cette expression sera une fonction rationnelle de x. Remarquons d'abord 

 que, d'après l'hypothèse faite sur 0, la fonction F (a;, V, . . .) représentera 

 la même fonction de x, quelle que soit la fonction V satisfaisant à l'équa- 



