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tion (4). Or soit ^. le degré en -^ de cette dernière équation; pour des 



valeurs arbitraires données à 



dY di'-'Y 



X, Y, 



dx dxP~ 



l'équation /=o a [h racines distinctes. En se servant de l'équation (4), 

 on peut supposer que dans F la dérivée d'ordre p de V ne figure qu'au 

 degré [j. — i au plus. Cette substitution faite, F devient une fonction 



1M..-.V,, *' 



■' dxP, 

 I 



rationnelle par rapport aux lettres dont elle dépend et contenant ^^ à la 



puissance [j;, — i au plus dans son numérateur et son dénominateur. Comme, 

 pour une valeur donnée de ir, la fonction F, prend la même valeur pour 



toutes les valeurs de V, -^) •••• :7— r satisfaisant à la relation 



dx dxP 



qui est irréductible et de degré [y, en -i-^j il faut que F, ne dépende que 



de X. La fonction $ est donc une fonction rationnelle de ce, comme nous vou- 

 lions l'établir. 



« On remarquera que, dans les démonstrations précédentes, on ne con- 

 sidère pas les fonctions rationnelles de ic, j,, jj, . . . , y„ et leurs dérivées 

 comme contenant des fonctions indéterminées y,, . . . , y„, mais on doit 

 toujours entendre que Y,,y2, ■ • • . Vm représente un certain système fon- 

 damental de l'équation linéaire proposée. 



)) 4. Nous nous sommes placé dans le cas le plus simple. Pour avoir la 

 théorie dans toute sa généralité, on peut supposer que les coefficients/), , . . . , 

 p^ de l'équation linéaire sont des fonctions rationnelles de x et d'un certain 

 nombre de fonctions adjointes 



A(x), B{x) h(x) 



et de leurs dérivées jusqu'à un ordre quelconque. Il n'y a aucune modifi- 

 cation essentielle à faire à ce qui précède. Seulement les coefficients de 

 l'équation /=o ne seront pas nécessairement des fonctions rationnelles 

 de X, mais des fonctions rationnelles de x, de A, B, . . . , L et de leurs- 



