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 dérivées. On a alors à considérer des fonctions rationnelles de x, de A, 



B L et leurs dérivées, de r,. J. Xm et leurs dérivées, et c'est à 



de telles fonctions que s'appliquent le théorème fondamental et sa réci- 

 proque; ceux-ci sont relatifs aux fonctions s'expriniant rationnellement à 



l'aide de .r, de A L et leurs dérivées. 



M .5. Pour achever de poser la notion du groupe de transformations 

 d'une équation linéaire, il faut encore démontrer que la double propriété, 

 dont jouissent les substitutions de ce groupe à l'égard de l'équation pro- 

 posée, leur appartient exclusivement. Considérons à cet effet, en nous 

 plaçant dans le même cas qu'au n" l, le premier membre 



^V^"'^'^'' ■■■'5^, 



de l'équation (4), où nous supposons d'abord que V soit une solution 

 quelconque de (2). 



» En remplaçant V par sa valeur en 7,, y., ..., j„et leurs dérivées, 

 l'expression / deviendra une fonction 



^(^.7. '72 7m' •••)• 



» Celte fonction est nulle, quand on prend pour j,, /., y,n un 



système fondamental correspondant à une solution V de l'équation (4)- 

 Une substitution 1' effectuée sur j,, .... j,„ et qui n'appartient pas au 

 groupe G ne peut laisser à <I> une valeur invariable, car une telle substitu- 

 tion revenant d'une manière générale à remplacer une solution de l'équa- 

 tion (2) par une autre, soit V par V, on aurait 



et, par suite, V satisfaisant à (4), la substitution 1' appartiendrait au 

 groupe G, dont les propriétés caractéristiques sont bien mises ainsi en 

 évidence. » 



HYDRODYNAMIQUE. — Théorie de F écoulement sur un dé<.-ersoir sans contrac- 

 tion latérale, quand ta nappe déversante se trouve ou déprimée, ou noyée 

 en dessous, ou adhérente au barrage; par M. J. Boussinesq. 



« I. J'ai montré, en juin iHgS ('), comment peuvent se calculer à très 

 peu près les principales circonstances de l'écoulement sur un déversoir 



(') Comptes rendus, t. GXVI, p. 1827, i4i5 et 1487. 



C. R., 1894, 1' Semestre. (T. CXIX, N° 15.) 77 



