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)) Si la série Sa„ converge, la fraction est oscillante; les réduites de 

 rang pair tendent vers une limite déterminée; il en est de même de celles 

 de rang impair, mais ces deux limites ne sont pas les mêmes. 



» liCS numérateurs et les dénominateurs des réduites de rang pair ou 

 impair ont respectivement pour limites quatre fonctions parfaitement dé- 

 terminées, holomorphes dans tout le plan, qui sont de genre zéro et dont 

 tous les zéros sont réels et négatifs. 



» La limite des réduites de rang pair (de môme que celle des réduites 

 de rang impair) est une fonction méromorphe dans tout le plan, décompo- 

 sable en une série de fractions simples. 



» Si, au contraire, la série ia„ diverge, la fraction continue est conver- 

 gente et la limite est une fonction F(,r) qui présente comme coupure la 

 partie négative de l'axe des quantités réelles et qui est holomorphe dans 

 tout le reste du plan. Cette coupure est, en général, naturelle, mais elle 

 peut être artificielle. 



» Cette fonction F(a;) peut être représentée par une intégrale définie 

 qui, dans certains cas, se réduit à une série de fractions simples. 



» Les fonctions étudiées par M. Stieltjes sont ainsi susceptibles de divers 

 modes de représentation, tant par des fractions continues de différentes 

 formes que pur des séries de puissances croissantes ou décroissantes, par 

 des séries de fractions simples, ou par des intégrales définies. 



» L'auteur indique le moyen de passer d'un de ces développements à un 

 autre et d'étudier les conditions de leur convergence. 



» Celte intégrale définie peut recevoir une interprétation très simple. 

 La partie réelle et la partie imaginaire de F(a;) peuvent être regardées 

 comme les composantes de l'attraction dues à des masses positives distri- 

 buées d'une certaine façon le long d'une droite. L'attraction est supposée 

 s'exercer en raison inverse de la ilislance. En général, ces masses forment 

 une ligne attirante continue, mais elles sont isolées dans les cas particu- 

 liers où l'intégrale se réduit à une série de fractions simples. 



i> Le problème qui consiste à trouver la distribution de ces masses quand 

 on connaît le développement de F(z-) suivant les puissances décroissantes 

 de z a été longuement traité par M. Stieltjes qui lui a donné le nom de 

 problème des moments. 



» Il ne comporte qu'une solution si la traction continue est conver- 

 gente (pourvu que l'on suppose toutes les masses positives; il n'en serait 

 plus de même si l'on ne les assujettissait pas à cette condition); il en admet 

 une infinité si cette fraction est oscillante. 



