( 632 ) 



» I,e développement de F(s), suivant les puissances décroissantes de z, 

 est souvent divei'gent ; il n'a plus alors qu'une valeur formelle et ne peut 

 représenter la fonction qu'asymptotiquement. Le premier exemple de ce 

 fait est la célèbre série de Stirling qui donne une expression approchée du 

 produit des n premiers nombres quand n est très grand; et depuis on s'est 

 retrouvé plusieurs fois en face des mêmes circonstances dans l'étude de la 

 Mécanique céleste, et c'est pour cette raison que les séries qui représen- 

 tent les coordonnées des astres sont divergentes et peuvent néanmoins être 

 employées par les astronomes. 



» Mais les fractions continues correspondantes peuvent être conver- 

 gentes, et c'est ce que M. Stieltjes montre pour plusieurs exemples, entre 

 autres, pour la série de Stirling et pour une série tout à fait semblable à 

 celles de la Mécanique céleste. C'est là un fait important dont l'Astronomie 

 pourra sans doute profiter. 



» Si j'ajoute qu'il y a une remarquable analogie entre ces fonctions et 

 quelques-unes de celles que l'on rencontre en Physique mathématique, on 

 verra que la découverte de M. Stieltjes nous donne l'espoir de conquêtes 

 nouvelles dans le domaine des Mathématiques appliquées. 



» L'Analyse pure, en tout cas, en bénéficie largement dès aujourd'hui, 

 non seulement par les conclusions que je viens de résumer, mais par di- 

 vers théorèmes que l'auteur démontre chemin faisant et qui se rapportent 

 à la théorie générale des fonctions et à celle des ensembles. 



» Le travail de M. Stieltjes est donc un des plus remarquables Mémoires 

 d'Analyse qui aient été écrits dans ces dernières années; il s'ajoute à 

 beaucoup d'autres qui ont placé leur auteur à un rang éminent dans la 

 Science de notre époque. La plus grande clarté et l'élégance de la forme 

 analytique qu'on remarque dans le Mémoire dont nous venons de rendre 

 compte se joignent au talent de l'invention dans toutes les recherches qui 

 ont pour objet d'importantes et difficiles questions, comme la variation de 

 la densité à l'intérieur de la Terre, les séries semi-convergentes, la théorie 

 des polynômes de Legendre, de la fonction r, etc. La Commission a l'hon- 

 neur de proposer à l'Académie d'accorder à M. Stieltjes le plus haut témoi- 

 gnage de son approbation en ordonnant l'insertion de son Mémoire « Sur 

 » les fractions continues » dans le Recueil des Sai'ants étrangers, et elle 

 émet le vœu qu'un prix puisse lui être accordé sur la fondation Lecomte. » 



Les conclusions de ce Rapport sont mises aux voix et adoptées. 



