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en (aU ^- S)T et U en "^ ^,'^1 (s'il existe une fonction de forces U). Ces 



Iransformalions sont aussi les seules qui (la fonction U n étant pas uns con- 

 stante) transforment un faisceau naturel quelconque (') h = hf, de trajec- 

 toires en un faisceau naturel h = A'„ . 



» Les valeurs /i(, et 1\ se correspondent d'ailleurs homographiquement : 



■ 





» Poi/r que chaque faisceau naturel se transforme en lui-même, ~il faut et il 

 suffit que U se conserve dans la transformation et que T se change en CT (G dé- 

 si^nant une constante). Celte dernière proposition constitue précisément 

 le théorème de M. Stœckel. J'ajoute que, dans ces conditions, le mouve- 

 ment n'est pas à proprement conservé sur chaque faisceau naturel; on 

 passe du premier mouvement au mouvement transformé en changeant t en 

 V^ t ; pour que le mouvement soit rigoureusement conservé, d faut que la trans- 

 formation laisse invariants, à la fois, TetV. 



» Tous les systèmes (A), qui admettent une transformation infinitési- 

 male conforme, peuvent, moyennant un choix convenable des variables q^, 

 être ramenés à une des formes suivantes : 



» 1° Si U n'existe pas, 



T = e'i^^Kj{q,,...,q„)q:q;, Qi= e^i^V ,{q,, . . . , q,) 



(1, (X étant des constantes); 

 » 2° Si U existe, 



I T = [e^^. - ^(^,. .. ., ry„)]e''.2; A,v (q. q,,)^:^. 



i.i 

 _ fel^?. — «4/(^2, ■ ■ ■ ,q„) 



— el^ï.-iKg-j, ...,ry„) 



II T = [ij.q, + .|(y„ ...,q„)] e^^'2 A,7 (q, 9„) </,' v'i - 



U = a -\ r^ T- 



{ * ) J'appelle faisceau naturel de trajectoires tout faisceau à 2n — 2 paramètres qui 

 correspond à une. valeur donnée A = h^ de la constante de l'intégrale des forces vives. 



