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lions dépendant de paramètres arbitraires, ou, pour traiter un problème 

 plus précis auquel la méthode d'intégration de M. Lie ramène toujours le 

 précédent, lorsqu'on a à intégrer une équation linéaire aux dérivées par- 

 tielles du premier ordre à « -+- 1 variables ce, ,r,, x.,, . . . , œ„, admettant un 

 groupe fini et continu G, simplement transitif, en x,, x.,, . . . , ir„, dont on 

 connaît les équations finies, on réduit le problème, en suivant la méthode 

 de M. Lie, à l'établissement d'un certain nombre d'équations auxiliaires 

 irréductibles, à groupes simples et qui rentrent toutes dans un certain nombre 

 de types connus. Ce dernier fait, qu'on sait d'avance sur quels types 

 d'équations auxiliaires on tombera, est dû à ce qu'on connaît toutes les 

 structures des groupes simples et, correspondant à chacune de ces struc- 

 tures, un groupe effectif échangeant entre elles le moindre nombre pos- 

 sible de variables ( ' ). 



» Mais, pour arriver à l'établissement de ces équations auxiliaires, il 

 faut, abstraction faite de quelques opérations dont la nature n'est pas sus- 

 ceptible d'être précisée, résoudre les problèmes suivants : 



» 1° Décomposer un groupe donné G en une série normale de sous- groupes 



G, G, , Go, . . . , (j p, 



chacun des groupes de cette série étant un sous -groupe invariant de celui qui 

 le précède immédiatement, et le dernier Gp se réduisant à la transformation 

 identique ; 



» 2° Étant donné un groupe simple, réduire la structure de ce groupe à sa 

 forme canonique. 



» Si le groupe G est un groupe engendré par des transformations infini- 

 tésimales connues et qu'on connaisse les constantes de structure de ce 

 groupe , le premier problème trouve sa solution dans les recherches 

 cpie j'ai exposées dernièrement dans ma Thèse sur la structure des 

 groupes ("). 



M J'ai déjà montré, dans cette Thèse, comment on peut se débarrasser 

 immédiatement du plus grand sous-groupe invariant intégrable et être 

 ramené au cas d'un groupe semi-simple, c'est-à-dire formé de sous-groupes 

 invariants simples. Je me suis aperçu depuis que, dans ce dernier cas, on 

 peut toujours, par des opérations rationnelles, reconnaître combien il y a 



(') Les résultats de mes recherches sur ce sujet n'ont pas encore été publiés. 

 C) Sur la structure dex groupes de transformations finis et continus. Paris, 

 Nony; 1894. 



