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» Après avoir mis le théorème d'Abel sons cette forme, qui ne diffère 

 pas essentielUment de la forme habituelle, il est aisé de l'étendre aux sur- 

 faces. Soit /= o une surface de degré m. Soit (xv, Jv, ^v) un fie ses points 

 d'intersection avec une courbe gauche, {Xy 4- dx^, j^ -+- dy,,, z^ + dz^) un 

 de ses points d'intersection avec une courbe gauche infiniment voisine. On 

 peut se demander quelles relations il v a entre les différentielles dx^, dy\, 



dZy. 



« Je me bornerai pour le moment aux courbes gauches qui sont l'inter- 

 section complète de deux surfaces <p ^ o, ^, = o, de degrés n et p. 

 » On trouve alors 



= O. 



» Dans ces formules F^ et Q^ désignent des polynômes de degré 

 m -h p — Il et m -h n — 4 en x,j-, z, où l'on a remplacé ces variables par 

 a\, y-y, 7^. Quant à Av, c'est le déterminant fonctionne! de y, çj et (p, par 

 rapport à x, j^ z, où ces variables sont remplacées par x^, y^, z„. 



» Un cas particulier assez intéressant est celui où la surface y se réduit 

 à un plan. 



)) Soient alors çi = o, y, = o deux courbes de degré m et [x^, y^) un de 

 leurs points d'intersection. Soit [x^ -^r dx^^ y,, + dy^) ce que devient ce 

 point d'intersection, quand ces deux courbes varient infiniment peu. Tl 

 vient 



= o. 



P étant un polynôme quelconque d'ordre wz — 3, et X une constante quel- 

 conque. 



» Le théorème s'applique même si la surface ^^ n'a pas de point singu- 

 lier, auquel cas il est aisé de voir qu'il ne peut y avoir d'intégrale de pre- 

 mière espèce. Mais il contient, comme cas particulier, le résultat que j'ai 

 énoncé dernièrement au sujet de ces intégrales. Si donc du est une diffé- 

 rentielle totale de première espèce et si «p et '^ , sont deux polynômes quel- 

 conques d'ordie n et p, on devra avoir 



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 C. R., i8 5, I*' Semestre. (1. C, N" i.) t) 



