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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines équations linéaires aux dérivées 

 partitl'cs du second ordre. Note de M.Lucien Lévy, présentée par M. Dar- 

 boux. 



« Les équations aux dérivées partielles de la forme 



d-z dz , riz 



^ ' dx dy djc dy ' 



OÙ a, é, c sont des fonctions données de x et de /, ont été, depnis plus 

 d'un siècle, l'objet de nombreux travaux. Laplace a montré comment ou 

 pouvait reconnaître sui l'équation (E) l'existence de solutions de la forme 

 A + BX 4- CX'-h . . . + LX'"', et comment, dans ce cas, on pouvait inté- 

 grer l'équation (E); X est une fonction arbitraire de x\ X', X", ... , X'"'' 

 sont ses dérivées; A, B, C des fonctions de x et de y. Plus récemment, 

 M. Moutard a présenté à l'Académie {Comptes rendus, 1870) sur les équa- 

 tions du second ordre un important Mémoire dont il n'a mallieureusemeut 

 paru jusqu'à ce jour qu'un extrait où sont obtenues toutes les équations 

 inlégrables de la forme s =^y.z. 



» Enfin, M. Darboux, dans son Cours professé à la Sorboiine pendant 

 l'année 1882-83, a introduit dans cette théorie la notion des invariants et 

 démontré les formules suivantes, qui m'ont été d'un usage constant, 



» Les invariants sont déftnis par les égalités 



(1) 



Si l'on pose 



, , i/a 



h =^ no — C -\ — 7-5 



, , db 



A = ab — C -h -r- 



, . dz 



l'équation eu z^ sera de la même forme que l'équation (E), soit 



,^ . d^z. dz, , dz, 



» Cette équation admet aussi deux invariants h^ et^,, et, si on la traite 

 comme la première équation, on obtient deux nouveaux invariants h^ et ^2, 

 et ainsi de suite. Ces invariants permettent à M. Darboux d'établir une 

 classification parmi les équations de la forme (E) et aussi de définir une 



