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 cune peine. Mais ces transformations se décomposent toujours en deux, 

 dont l'examen conduit aux propositions suivantes (') : 



M I" Etant donnée, SOUS la forme 



5 -H.P/J + Q7 = o, 



une équation dont toutes tes solutiom se réunissent en une intégrale générale, 

 contenant au moins une fonction arbitraire dégagée du signe J , c'est-à-dire ap- 

 partenant à l'indice n, si l'on désigne par z,, z^, z^ trois de ses solutions choisies 

 à volonté et par ^, , 'C2 les rapports des deux premières à la troisième, par{^, , ^2) 

 le déterminant fonctionnel de ces rapports, l'équation suivante 



P 



!'*'*"m!*"h'^'1'1f]!" 



admet aussi une intégrale générale de la forme indiquée, mais la fonction arbi- 

 ttaire dégagée du signe f y figure avec ses dérivées jusqu'à l'ordre n -h i. Cette 

 intégrale lésulte avec facilité de l'équation proposée; si cette dernière représente 

 l'une quelconque de celles qui appartiennent à l'indice n, la précédente peut re- 

 présenter toutes les équations qui appartiennent à l'indice /< H- i . 

 » 2° Etant donnée sous la forme 



toujours admissible, comme on le prouve aisément, une équation linéaire du se- 

 cond ordre, dont toutes les solutions se réunissent en une intégrale générale con- 

 tenant au moins une fonction arbitraire dégagée du signe /, avec ses dérivées 

 jusqu'à l'ordre ri, si l'on désigne par ç', v" deux de ses solutions prises à volonté, 

 l'équation suivante 



admet aussi w^e intégrale ijénét aie de la forme indiquée, mais la fonction arbi- 

 traire dégagée du signe f y figure, cwec ses dérivées, jusqu'à l'ordre « + i . 



(') Ces théorèmes sont sujets à des exceptions que leur démonstration même met en 

 évidence. 



