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cherches précédentes sur les fonctions algébriques de deux variables indé- 

 pendantes, que la surface définie par l'équation 



(2) f{u,v,^y) = c, 



n'a que des singularités ordinaires, les courbes multiples et les points mul- 

 tiples isolés pouvant être d'ailleurs d'ordre quelconque. 



» S'il est possible d'intégrer, comme il a été dit, l'équation (i), les coor- 

 données d'un point quelconque de la surface (2) s'exprimeront par des 

 fonctions quadruplement périodiques c!e deux paramètres, et j'ajoute cette 

 remarque essentielle, qu'à un point quelconque [a, v, îv) ne corres|)ondra 

 nécessairement qu'un seul système de valeurs des paramètres, abstraction 

 faite des multiples des périodes. Nous aurons donc d'abord à reconnaître 

 si ces circonstances peuvent se présenter; c'est ce que j'ai montré à faire 

 précédemment [Comptes rendus, décembre i884)- 



» Soient alors 



Bi (lu — A| fin 



J -Ti—^'J 



y;;. 



les deux intégrales de première espèce que devra posséder la surface. 

 Celle-ci sera nécessairement de genre un, et désignons par 



Q(", t', u') = o 



l'équation de la surface adjointe d'ordre [m — 4)- 



» Ceci posé, l'équation (i) admettra pour solutions des fonctions qua- 

 druplement périodiques de deux paramètres, si, outre les conditions pré- 

 cédentes, A et A, ont respectivement les formes 



A = [rxv + /3(f)Q(f/, v,w), A, = {yi> + fÎM.')Q(«, c. w), 



a, p, -y et S étant des constantes. 



» La réponse à la question posée est donnée par l'énoncé précédent. 



On peut résoudre autrement le problème, sans passer par la recherche 



préalable des intégrales de différentielles totales de première espèce ou, du 



moins, déduire ces intégrales de l'équation (i) elle-même et d'une seconde 



équation qui se forme immédiatement, à l'aide du polynôme adjoint Q. 



„ , , . . » ' ■ .Ou du 



Celte seconde équation peut s écrire, en posant toujours ^ = t», — = ïv, 



,/()-« du d-u f)u^ 



ôx'- ôy ôx dy d.v ^ 



