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 n étiint une constante. Cette équation et l'équation (i) permellent d'ex- 



f)^« d-ll d^ll r . . 11 1 T% 



pruner -j-^î 3 — —, -r-^ en ronclions rationnelles de u, i>, w. Portant ces va- 



' dt- oxdr dy- ' ' 



leurs dans les deux relations 



, du , au j , 0'- u , d^ u , 



an = -^ clx -{- -T- ar. cl\> = -^—^dx+ ~. — 7- dy, 

 ax ay ' ' dx- ùxay -' 



nous en tirons 



dx = M (lu + N di>, 



dj =M,f/«H- N.iYc, 



les M et N étant des fondions rationnelles de ^^, f, w. Ces fonctions ration- 

 nelles contiennent la constante a ; on aura à voir si on peut la déterminer, 

 de telle manière que les intégrales des deux différentielles totales dx et dj 

 soient de première espèce. Cette question facile une fois traitée, on aura 

 immédiatement les deux intégrales correspondant à la surface, et la solu- 

 tion pourra s'achever comme plus haut. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un cns de réduction des équations linéaires 

 du quatrième ordre. Note de M. E. Goursat, présentée par M- Hermite. 



« Lorsque les intégrales d'une équation linéaire et homogène du qua- 

 trième ordie sont liées par une relation c|uadratique, on s;iit qu'elle admet 

 pour intégrales les produits des intégrales de deux équations du second 

 ordre. Ce cas de réduction a été traité con)plètement pnr M. Halphen dans 

 son Mémoire Sur les iiwarimits des équations linéaires du quatrième ordre 

 [Jeta malhernatica, t. 111). H existe un autre cas de réduction qui me paraît 

 nouveau et intéressant : c'est celui où la courbe qauclie, attachée à l'équation, 

 suivant l'expression de M. Halphen, est située sur la surface développable 

 du quatrième ordre, ayant |)Oiir arête de rebroussement une cubique 

 gauche. Les équations de la cubique gauche C étant mises sous la forme 



^ ' yi ïi Ji 



l'équation de la développable S sera 



(2) (7, y, - r^y.y- - k {ra^ - y^.){r-^ r, - r')- 



» Il est aisé d'obtenir des équations du quatrième ordre dont les inté- 

 grales vérifient la relation (2). Si Y est l'intégrale générale d'une équation 



c. R., i885, 1" S,:mcslre. (T. C, ^° /y.) 3l 



