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 du second ordre, l'éqnation du quatrième ordre, qui admet l'intégrale 



où p et q sont des fonctions quelconques de x, répond à la question. 

 Inversement, toute équation du quatrième ordre dont les intégrales véri- 

 fient la relation (2) peut être obtenue de cette manière. Soient, en effet, 

 z,, 22, Z3, Z4 les coordonnées homogènes du point où I.1 génératrice de S, 

 passant parle point (j,, ja, Ja. J4)) touche la cubique gauche, et soit E' 

 une équation auxiliaire du quatrième ordre admettant les intégrales z,, z^, 

 S3, Z4, ces intégrales vérifiant les relations 



l'intégrale générale de l'équation E' sera, comme il est connu, de la forme 



', — Y' 



Y désignant l'intégrale générale d'une équation du second ordre. En écri- 

 vant que le point [j-,, ^o, ^■3, j*..,) est sur la tangente à la courbe décrite 

 par le point [z,, z,, z^, z,,), on obtient les relations 



jr, =pz, + qz\, 



j\_ = pz.,-hqz'^, 

 j, = pz, + qz^, 

 j, = pz,-i-qz\, 



qui montrent que l'intégrale générale de l'équation proposée E est de la 



forme 



jr =pz-i- qz'. c. Q. F. D. 



» Il est aisé de voir que les coefficients de l'équation la plus générale 

 de cette espèce ne dépendent que de trois fonctions arbitraires, et l'on 

 pourra les ramener à ne contenir qu'une fonction arbitraire; il doit donc 

 exister une relation entre les invariants fondamentaux de cette équation. 

 11 resterait, pour achever l'étude de ce cas singulier, à rechercher cette 

 relation, ainsi que la manière d'opérer la réduction lorsqu'elle est pos- 

 sible; c'est ce qu'd ne m'a pas été possible de faire jusqu'ici d'une manière 

 complète. Dans le cas où les coefficients de l'équation E sont uniformes, 

 ou peut compléter le théorème en ajoutant que les coeflicients de l'équa- 



