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 tioii du second ordre en Y, ainsi que p et q, seront des fonctions uniformes 

 de la variable. On peut aussi observer que les trois expressions 



y^yi-r\^ y^r^-yl'^ r^'o-iiT^ 



représentent respectivement les carrés et le double produit des intégrales 

 de l'équation eu Y, à un facteur près, de la forme 



Le premier membre de la relation (2) est identique au discriminant de la 

 forme binaire cubique 



Cette remarque suggère une représentation géométrique curieuse des 

 invariants et covarianis des formes binaires d'ordre n dans l'espace à 

 n dimensions. Elle coriduit aussi, pour la propriété précédente, à des 

 généralisations étendues. Je me bornerai à indiquer les suivantes, en sup- 

 posant, pour plus de netteté, les coelficients uniformes : 



» Si les intégrales d'une équation linéaire d'ordre n-\-i, à coefficients 

 uniformes, vérifient une relation dont le premier membre est identique au 

 discriminant d'une forme binaire d'ordre h, elle admet l'intégrale 



jr=/,.Y" + p.Y«-g + . ..+/,„..,¥»(-;) , 



Y désignant l'intégrale générale d'une équation du second ordre dont les 

 coeffiicients sont uniformes, ainsi que p^^ p„, . . . , Pn-\- 



» Plus généralement, si les intégrales d'une équation linéaire à coeffi- 

 cients uniformes vérifient une relation dont le premier membre est iden- 

 tique au discriminant d'une forme algébrique à p variables, ses intégrales 

 sont des fonctions entières à coelficients uniformes des intégrales d'une 

 équation linéaire d'ordre p à coefficients uniformes et de leurs dérivées. » 



ANALYSlî MATHÉMATIQUE. — Sut les formes inlécjrables des équations linéaires 

 du second ordre. Note de M. R. Liocville. 



« Dans une Note précédente [Comptes rendus, 19 janvier i885), j'ai re- 

 marqué, comme conséquences d'une transformation très générale, deux 

 théorèmes qui permettent de former toutes les équations linéaires du second 

 ordre dont l'intégrale contient au moins une fonction arbitraire dégagée 



