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MÉCANIQUE. — Sur le roulement des surfaces. Note de M. H. Resal. 



« Je m'étais occupé, vers iSSy, des propriétés relatives au roulement 

 d'une surface sur une surfice fixe, mais en partant de considérations géo- 

 métriques empruntées en grande partie à divers théorèmes de Cli. Dupin. 

 J'ai été conduit, dernièrement, à revenir sur cette question, et j'ai dii re- 

 connaître que ma théorie laissait quelque peu à désirer, quoique les prin- 

 cipaux résultats auxquels elle m'avait conduit fussent exacts. Il m'a semblé 

 que, en donnant une définition plus précise du mouvement de roulement, 

 on devait arriver à des conséquences exemptes de toute objection; je me 

 suis alors livré à quelques recherches dont je vais donner l'analyse. 



» Je rappellerai d'abord les notations 



th dz d^ z d-z il- z 



" d.r ' dy dx'- djc dy dy'^ 



lorsque l'on a z ^ J [x, y). 



)) Soient (S), (S) la surface fixe et la surface mobile, tangentes actuelle- 

 ment au point O. Je dirai que (S) roule sur (S') si, à l'instant suivant, un 

 point O, de (S) infiniment voisin de O et son plan tangent viennent respec- 

 tivement coïncider avec un point O, de (S') et son plan tangent. 



» Le point O sera pris pour origine des coordonnées, et le plan tangent 

 commun à (S) et (S') en ce point pour plan des xy, en laissant indéter- 

 minée, quant à présent, la direction de Ox. 



» Les lettres qui se rapportent au point O, seront affectées de l'indice i, 

 et celles qui sont relatives à O, seront de plus accentuées. 



» On a, en remarquant que p,, = 0,^0 = o, pour l'équation de la sur- 

 face (S) aux termes près du troisième ordre, 



{a) 12Z. — r„X^->r-2S^X)-^rtf,J- 



et, comme conséquence, 



(«,) 25, = /•o.i;+ 2J0-3--,/, + iofî- 



» En s'arrêtant aux termes du second ordre, ce qui suffit dans ce qui 

 suit, on a aussi 



ib) p, =-- r^x, + i„j,, q = /oj, + s^x,. 



