( 269 ) 



titre : On a j) Inné Représentation qf certain dynamical Probleius in lIieTheory 

 qf a rigid Body. Je me propose de faire voir que celte représeiiliilion est 

 une conséquence de la représentation d'un pinceau de droites dont j'ai eu 

 l'honneur d'entretenir plusieurs fois l'Académie ('). 



)) Je vais d'abord montrer la liaison qui existe entre un pinceau de 

 droites et la surface que M. le professeur k. Cayley a nommée cylindroide. 



» Soient a, b, e trois points d'une droite mobile D. Ces points étant 

 assujettis à rester sur les surfaces données [a], [è], [e], la droite D peut 

 se déplacer d'une infinité de manières autour d'une de ses positions. Ces 

 déplacements étant infiniment petits, elle engendre ainsi un pinceau [D] et 

 ses points se déplacent sur leurs surfaces trajectoires. 



» Menons respectivement des points fi, è, e les normales aux surfaces 

 trajectoires de ces points. Ces trois normales déterminent un hyperbo- 

 loïde (H) dont les génératrices du même système que D sont les axes 

 instantanés au moyen desquels on obtient tous les déplacements de D. 



» Soit A l'un de ces axes. Le pied c de la perpendiculaire X commune 

 à D et A est sur D le point central relatif à l'élément engendré par D qui 

 tourne autour de A. Cette perpendiculaire X est la normale en c à cet 

 élément. 



» A chacun des déplacements de D autour de sa position correspond 

 ainsi une droite X. 



» Que/ est le lieu de ces droites ? 



» Pour répondre à cette question, il suffit de chercher le lieu des per- 

 pendiculaires communes à D et aux génératrices de (H) du même système 

 que D. 



» D'un points? de D menons im plan (P) perpendiculairement à cette 

 droite. Les génératrices du même système que I) se projettent sur ce plan 

 suivant des droites qui passent par un même point /, projection de la gé- 

 nératrice I, parallèle à D. Les projections sur (P) des droites X sont les 

 perpendiculaires abaissées de c? sur les droites issues de /". Les pieds de ces 

 perpendiculaires sont sur la circonférence décrite sur iW comme diamètre. 



» Le cylindre, qui a pour base cette circonférence et dont les généra- 

 trices sont perpendiculaires à (P), contient D et I; il coupe alors (H) sui- 

 vant une conique. Cette conique est le lieu des points de rencontre des 

 droites X avec (H). On peut dire alors : 



« Le lieu des droitesX. est le conoide droit qui a pour plan directeur (P) et 



C) Voir Comptes rendus, séances des 16 mai 1870, 9 et 16 juin 1879. 



