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 sion d'un principe fondamental que j'ose communiquer à l'illustre Aca- 

 démie, ne sachant s'il me sera donné de composer le Mémoire là-dessus. 



» Une correspondance univoque entre deux fonctions y = o, F = o 

 est exprimée par une substitution rationnelle dont l'inverse devient ration- 

 nelle au moyen de F = o. Géométriquement, cela s'exprime par ce que la 

 correspondance fait partie d'une transformation unimultivoque. Partant 

 de là, MM. Briil, Nother et Lindemann ont démontré qu'une pareille 

 transformation change les courbes adjointes <p„_.3 de j en les courbes ad- 

 jointes $„_3 de F. De même pour les variétés supérieures. 



» 2. Cela étant, je passe aux courbes à une correspondance univoque. 

 Celle-ci naît d'une transformation, univoque d'une part. Comme les (p„_3 

 et $„_3 font ici le même sj'stème linéaù^e qui est complètement déterminé par 

 les points communs de toutes les courbes, je conclus : 



» Toute correspondance univoque , qui se trouve sur une courbe algébrique de 

 genre /? > 2, est contenue dans tme transformation birationnelle de tout le 

 plan Q). 



» Je suis à même de démontrer que les courbes de genre 2 ne font pas 

 exception, non plus que les courbes de genre i . 



» 3. Pour passer phis loin, on a deux méthodes : 1° établir directe- 

 ment toutes les transformations crémoniennes qui peuvent reproduire des 

 courbes algébriques, ce que j'ai fait pour les degrés inférieurs et ce qui, 

 toutefois, exige pour la solution générale un nouveau corps de recherches; 

 2° la méthode que je vais exposer. 



» Toutes les f d'une courbe y = o ont en commun les mêmes singularités, 

 partant elles possèdent de leur part les mêmes courbes adjointes f, qui sont seu- 

 lement du degré ?i — 6. Q^ reproduira de même le système des 'f'„_^- 



» J'appelle ce principe la diminution successive des fonctions <a. Je continue 

 à réduire de cette façon les cp et, en désignant par p,, p^, p^, ... les genres 

 des courbes 9, 9', 9", ..., j'obtiens des ccP-', ocP.-', ce''"', ... systèmes 

 linéaires de courbes o„_3, o'„_^., f'n_^, • •• qui soiit reproduits isolément par 

 Qr. Entre trois p successifs existe une relation. 



» Un premier obstacle survient, si /?^^, < o et les courbes y''"' se décom- 

 posent. Cela ne peut se faire qu'en une partie fixe, ce qui ne dérange pas, 

 ou en plusieurs parties d'un même faisceau, ce qui n'arrête pas la suite de 

 nos conclusions. 



» Un autre obstacle se présente ici, si le genre de 9''^' devient, pour la 

 première fois, égal à i . On avait précédemment p^ > r et les cp^'"' forment 

 au moins un faisceau. 



