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» On peut déjà remplacer un tel faisceau par un faisceau de cubiques. 

 Donc : 



» I. Dans ce cas Q,. peut être transposée (') en une transjormalion Q^, de 

 telle nature quelle permute entre elles les cubicfues d'un faisceau d'un système 

 linéaire^ déterminé par des points. Q\. possède^ au plus, neuf points dans sa ca- 

 ractéristique. 



)) J'ai introduit, dans mon Mémoire couronné, le nom de caractéristique, 

 pour l'ensemble de tous les points fondamentaux et de leurs transfor- 

 més. 



» Si, d'autre part, on est arrêté par pr+, = o, les çs*'' formeront, ou un 

 faisceau, ou un réseau de courbes unicursales. Alors, je conclus, sans res- 

 triction : 



» II. Dans le premier cas,f= o est transformable en une courbe, ou la cor- 

 respondance est reproduite par une transformation de M. de Jonquiêres, dont 

 les deux points [n — jy/^'" coïncident . 



» III. Dans r autre cas, / ^ o est transformable birationnellernent en une 

 courbe, oii la correspondance est contenue dans une homographie de tout le 

 plan. 



» Si, enfin, on ne rencontre ni p = o, m p ^ i , on tombera finalement 

 soit sur un système linéaire de cubiques, soit sur un système linéaire de 

 coniques ou de droites. Le dernier cas présente une homographie pour y 

 elle-même, le premier rentre dans le cadre de I. 



» Si Qr possède un faisceau anallagmatique de cubiques, toute autre 

 courbe, qui est anallagmatique pour Q^, a l'ordre 3s, en passantes fois par 

 les points de la caractéristique. Quand le nombre de ceux-ci est 9, le genre 

 de f est égal à i . En tout : 



» Toute courbe p ^ i, douée d'une correspondance uniuoijue entre ses points, 

 est transformable biiationirellement en une courbe oii la correspondance est con- 

 tenue dans une transformation à 6, 7,8 points de la caractéristique, ou dans une 

 homographie, ou dans une transformation de M. de Jonquiêres, aux deux 

 points [n — lyp'"^ coïncidents. 



)> Il résulte de mon Mémoire couronné que ces transformations sont 

 périodiques. Le théorème de M. Scbwarz se démontre ainsi de lui-même. 



» On obtient des conclusions analogues pour les surfaces. Je préfère en 

 réserver les résultats. Tout dépend des systèmes linéaires de quadriques, 

 cubiques et qiiartiques. » 



(') A une restriction près, que toutefois on (louna lever. 



