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MÉCANIQUE. — Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement 

 de rotation. Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite. 



« Dans la deuxième édition de leur Traité de Philosophie naturelle, 

 MM. Tait et Thomson énoncent sans démonstration le résultat suivant, au 

 sujet de la figure d'équilibre d'une niasse fluide homogène, dont toutes les 

 molécules s'attirent suivant la loi newtonienne et qui est animée d'un mou- 

 vement de rotation autour d'un axe. Outre les figures ellipsoïdales bien 

 connues, il y a, d'après les géomètres anglais, une autre forme d'équilibre, 

 qui consiste en une surface annulaire de révolution analogue à un tore. 



» Je suis parvenu à retrouver la démonstration du résultat de MM. Tait 

 et Thomson en m'appuyant sur le principe suivant, qu'il est aisé d'établir 

 rigoureusement : 



» Si un système quelconque, en équilibre stable sous l'action de cer- 

 taines forces, vient à être soumis à des forces perturbatrices infiniment 

 petites, il y aura, pour ce nouvel état de forces, une nouvelle position 

 d'équilibre stable infiniment voisine de la première. 



» J'ai cherché ensuite à déterminer les principaux éléments de la sur- 

 face annulaire d'équilibre. A cet effet, j'ai choisi les unités de masse et de 

 temps de telle façon que la densité de notre masse fluide soit égale à i et 

 que l'unité de force soit l'attraction newtonienne de deux unités de niasse 

 à l'unité de distance. C'est ce qui est le plus convenable dans une étude 

 théorique. 



» J'appelle E. la distance du centre de gravité de la section méridienne 

 à l'axe de révolution. La section méridienne admet un axe de symétrie qui 

 est la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur l'axe de révo- 

 lution. J'écrirai l'équation de cette section méridienne, en prenant pour 

 pôle le centre de gravité, et pour axe polaire l'axe de symétrie. L'équation 

 s'écrira alors 



p = /• + pcosaip + ycos3(p + . . . , 



r, p et 7 étant des constantes telles que les rapports ^, -, ^, ■■• soient très 

 petits. 



» Cela posé, j'ai négligé d'abord (3, 7, ... de façon que la surface se 

 réduise à un tore de rayons Pi et r, et j'ai cherché à exprimer le potentiel V 

 en un point quelconque de la surface du tore. J'y suis arrivé à l'aide des 

 séries qui donnent les périodes K et K' d'une fonction elliptique, déve- 



