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 et (D ne soit une ligne multiple de la surface /; nous aurons alors l'identité 



dj dz dz dr j ^ \ôz à.i: d.>- dz 



où A et B sont des polynômes, le polynôme B étant de degré m + p — 2. 



» De cette relation, nous pouvons conclure que, quand on connaîtra 

 un certain nombre d'intégrales algébriques, telles que la précédente, on 

 pourra former l'intégrale générale. 



» Soient, en effet, 



(D,{x.j,z) = o, o,,(.r,7, s)=:o, ..., (D,[x,y,z)=o 



r relations qui, jointes à l'équation (i), donnent r solutions particulières 

 de l'équation différentielle, et désignons par B,, Bj, . , . , B^ les poly- 

 nômes B correspondants. 



» Si l'on détermine les constantes a,, «o, . . . , a,., de manière que 



a, B| 4- «2^2 4- . . . n- a,.B;. 



soit divisible par J {x, j, z), r intégrale générale de l'équation différentielle 

 s obtiendra en joignant à T équation [\) l'équation 



C étant la constante arbitraire. Or la détermination des constantes sera 

 certainement possible si /■ est égal à 



6 ' " 



» Nous avons admis, dans ce qui précède, qu'aucune courbe d'inter- 

 section des surfacesyet y n'était une ligne multiple de la surface/! Lors- 

 qu'il en sera ainsi, les considérations précédentes seront encore applicables 

 dans un cas étendu. Supposons que les surfaces f passent par certaines 

 lignes multiples C de la surface J ; nous serons encore assuré d'avoir 

 l'identité (3) si les surfaces 



passent par les courbes C. C'est ce cju'on démontrera facilement en s'ap- 

 puyant sur un important théorème de M. Noether, relatif aux surfaces 

 passant par l'intersection de deux .-lutres surfaces {Math. Jnnaltn, t. VI). 

 » Indiquons, en terminant, un cas intéressant où les remarques précé- 



