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consiste, quand on a trouvé une de ces intégrales, à trouver la seconde 

 qui, d'après le théorème de M. Picard, doit aussi se réduire à une intégrale 

 elliptique. 



» Dans les recherches de M. Picard figure un nombre entier positif D, 

 qui n'est autre que le degré de la transformation propre à réduire ces inté- 

 grales. Le cas de réduction correspondant à D = 2 a été trouvé par Jacobi 

 {Journal de Creik, t. 8). En supposant D = 3, j'ai été conduit au cas de 

 réduction suivant : 



» Les deux intégrales 



r tdt 



où 



R(/) =: [e -^ nt -\- b) [l' ^ pi'' ^ cj), 



se ramènent à des intégrales elliptiques par des substitutions rationnelles 

 du troisième degré, pourvu que l'on ait 



(4) q = f\h + \pn. 



» Je remarque d'abord que l'intégrale (3) se ramène à l'intégrale (2) en 



posant t= -; les valeurs de a, h, p, q seront respectivement 



p 1 a I 



-5 -) 75 7» 

 (/ (jf 



et la relation (4) devient, en divisant par qb, 



L^Al + éi'il. 



b ^ ,{ -i q b 



» On voit par conséquent que, si l'intégrale (2) n'a que deux périodes, 

 il en sera de même de l'intégrale (3). Pour réduite l'intégrale (2), il suffit 

 de poser 



on aura 



d.v 6t^— 3pi- — (ap + 3 0) 



i/\{'5x — af — 2r{b -\- px)- 

 ^ \i^e - 3pt- - [ap -f- -ib)]' [3i^ + ipt- 4- Li{np + 3*)] X 



St — p) 



