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 » On obtient cette dernière identité en observant que le premier 

 membre, ôgal à zéro, donne la condition pour que l'équation (5) ait une 

 racine double. Il suit de là que l'intégrale elliptique 



J 



\/j7[4 (3.-C — a y — 2r[lj -h /'■>:)'] 



devient, par le changement de variable (5), -= / — - ^. On voit de mêuie 

 que l'intégrale (3) se ramène à l'intégrale elliptique 



/v 



(l.V 



y/.r[4(/» + 3bxY -f- 2rq[l — ii.t)-] 



en posant 



at^-h'i/U^' 



= X. 



» Les substitutions précédentes s'appliquent alors même que quelques- 

 unes des quantités a, h^ p seraient nulles. Si b n'est pas nul, ou pourra, en 

 changeant t en at, supposer b— i, et R(f) contiendra deux paramètres 

 arbitraires a et p. Si i — o, on pourra de la même façon supposer a = — i , 

 et R(<) ne contiendra plus qu'un paramètre arbitraire. Si l'on change 



ensuite ^ en -i on est conduit à un cas de réduction déjà obtenu par 



M. Hermite. 



» Les deux intégrales 



; dz 



r dz r zdz 



JTrR' JlW) 



ou 



se réduisent à des intégrales elliptiques par des substitutions qu'il est aisé 

 de déduire des précédentes. 11 suffit de changer z en ~ pour retrouver la 



y/a 



forme de AT. Hermite. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une intégrale définie. Note de M. L.vguerre, 



présentée par M. Hermite. 



« 1. En désignant par F(sinç,cosip) et /(sin(p, cos'f) deux polynômes 

 entiers par rapport aux quantités sinçi et cos© (et je supposerai ici que le 



