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 M. Brown-Sequaud adresse ses remercîments à l'Acadéaiie, pour la 

 distinction dont ses travaux ont été l'objet dans la dernière séance an- 

 nuelle. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions abéliennes. Noie 

 de M. H. PoiNCARiÉ, présentée par M. Hermite. 



« Dans une Communication que j'ai eu l'honneur de faire à l'Académie, 

 le i8 avril i88r, et dans un travail plus étendu, inséré au Tome XI du Bul- 

 letin de la Société mathématique de France, j'ai donné une formule pour dé- 

 terminer le nombre des zéros communs k p fonctions Q a p variables. 



» Appelons fonction d'ordre ni une fonction entière de p variables a?,, 

 X.,, . . ., Xp qui ne change pas quand ou augmente ces variables d'iuie des 

 p premières périodes et qui se multiplie respectivement par les facteurs 



_m.r.+o. 



quand les variables augmenient d'une des /> dernières périodes. Les quan- 

 tités (i) s'appelleront les multiplicateurs. 



» Si l'on considère ^ fonctions ©,,02, ..., ©,,, d'ordres m^^ m^, ..., nip, 

 les équations 



0, ~ 0, =.. .= t\^= O 



admettront 



N = /j! m, nu. . .ni I, 



solutions distinctes (c'est-à-dire non congruentes). 



» Soient X, la somme des N valeurs de x,, X^ la somme des N valeurs 

 de JTo- ■••■> Xp la somme des N valeurs de Xp qui satisfont à ces p équa- 

 tions. 11 y a moyen de calculer X,. 



)i Soit 



le ^'*^'"^ multiplicateur de la fonction 0,. On trouvera 



X,=F,, 



Fj étant un polynôme du premier degré par rapport aux èn^ et dont les 

 coefficients dépendent des quantités 772,, /??o, ..., ?«p et des périodes. F,- sera 

 aussi un polynôme du premier degré par rapport à chacune des quantités 

 m considérées séparément et par rapport aux périodes. 



» Supposons /j = 2 pour fixer les idées j appelons les périodes, pour plus 



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