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 » Si l'on a a = a,, [i — [i,, . . . , a = a,, ce qui arrive, par exemple, quand 

 les racines latentes sont toutes (iistincles, on peut mettre M sous la forme 



M = A'MoA, 



Mo étant une matrice dont la diagonale principale contient a termes [j.^^ 

 P termes jxp, . . ., enfin X termes rj.) et dont les autres termes sont nuls, et 

 A désignant une n^ifrire de nullité zéro; et ce n'est que dans le cas de 

 a = a, , p =: p, , . . . , A = A, qu'on peut mettre M sous une telle forme ( ' ). 



» Pour montrer l'utilité de celte décomposition de M, je vais démontrer 

 un théorème que M. Sv'vester ahien voulu me communiquer. Représen- 

 tons Mo par {[j-a, [J-^1 • ■ • , ;->-),); nous aurons pour entier positif quelconque e 



M^-A-^(l4,;4,...,^|)A, 



d'où l'on conclut immédiatement qu'un terme quelconque mf^ de M^ est 

 mis sous la forme 



'"!■!' = «Mp-a + ^rtP-:i + . . . + lik'A- 



C'est In formule de M. Sylvester, qui ainsi se trouve démontrée dans le cas 

 de a =: a,, . . ., 1 =^1,. Je ne suis pas parvenu à la démontrer pour les 

 autres cas. 



» En étudiant la nullité des matrices, j'ai trouvé que 'c le degré de nul- 

 lité d'un pioduit de matrices est au plus égal à la somme des degrés de nul- 

 lité des facteurs, et au moins égal au plus petit de ces degrés ». La seconde 

 partie de ce théorème a été mentionnée par M. Sylvester {Comptes rendus, 

 t. XCIX, p. 69) comme faisant partie de sa troisième loi de mouvement 

 algébrique. Cette loi en contient probablement aussi la première partie, ce 

 que je ne puis constater, n'ayant jamais eu sous les yeux le Joltii Hopkins 

 Circulât qui a donné les trois lois de M. Sylvester. 



» De là on conclut immédiatement à l'impossibilité de certaines équa- 

 tions en matrices. Donnons-en un exemple. Soit N une matrice qui a la 

 racine a"P'® zéro, et soit N de nullité a, < a.. Alors il est impossible de dé- 

 terminer Tuie matrice X telle qu'on ait X* -— N, l'entier k étant plus grand 

 que a.— oc,. Eu effet, X doit avoir la racine a"'''" zéro; mais alors je peux 



( ' ) Riemann, dans le Mémoire Zwei allgemelne Satze ûber line'àre Differenlialgleichungen 

 mit algebraischen Corfficicntcn [OEiivres complètes, p. SSp), attribue cette manière de dé- 

 composer une sulistitution linéaire à Jacobi. Son assertion cependant, que la possibilité 

 d'une telle décomposition exige l'inégalité des racines p., doit être rectifiée dans le sens de 

 notre énoncé. 



