( 789) 



démontrer que X* est de nullité a, et, comme N n'est que de nullité a,, l'é- 

 quation jiroposée n'est pas sohible. D;ins cette catégorie d'équations rentre 

 l'exemple donné par M. Sylvester (Com/jfes rendus, t. XCVIII, p. 474); 

 on y a 



n^=^ 1, a = 2 , a , = I . 



» Les démonstrations rigoureuses de tous ces énoncés feront l'objet 

 d'un Mémoire que je compte publier sous peu. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les Ij'pes canoniques des fonnes quadratiques 

 ternaires des différentielles à discriminant nul. Note de M. G. Kœnigs, 

 présentée par M. Darboux. 



« Le problème général que j'étudie a son origine dans diverses ques- 

 tions de géométrie infinitésimale. 



» Soit ¥[du) une forme quadratique des différentielles des variables ?<,, 

 ii„, 113, dont les coefficients sont des fonctions de ces mêmes quantités. Dire 

 que le discriminant de F est nul, c'est dire que cette forme est le produit 

 de deux formes linéaires oi et w; 



F = 0) . w'. 



» Le cas le plus simple, mais aussi le moins intéressant, c'est celui où fjo 

 et w' seraient tous les deux intégrables. Alors, suivant le cas, on peut 

 ramener F à l'un des deux types canoniques 



(a) V = \didn, 



[b) Y^ldr, 



où X, I, ri sont des fonctions convenables de ;<,, «2, u^. 



» Supposons donc que l'une des deux formes linéaires, w', par exemple, 

 ne soit pas intégrable; on peut du moins déterminer p de façon que la 

 forme (w -i- w'.p) admette un facteur intégrant. On trouve aisément l'équa- 

 tion à laquelle doit satisfaire p; elle est de la forme 



(1) A,4^ +A,^-l-A,y--EÔ-^+2F6-+-G. 



^ ' ^u^ ' du, Oiif 



» D'ailleurs, on trouve en outre que toute fonction dont la différentielle 

 peut s'exprimer linéairement à l'aide de w et w' est une solution de l'équa- 



