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» Je m'étais borné à considérer le cas où l'intégrale (i) resterait finie 

 pour tout système de valeurs, finies ou infinies, de x et y; c'est ce que 

 j'exprimais en appelant celte intégrale une intégrale àe première espèce. 



» On peut considérer, d'une manière plus générale, des intégrales de la 

 forme précédente, mais qui sont susceptibles de devenir infinies. Pour dé- 

 finir avec précision les intégrales que j'appellerai de seconde espèce, procé- 

 dons de la manière suivante. Soit (^„, y„) un système quelconque de valeurs 

 de;r et y; posons 



X — x\= t\[t), 



où 1 et 1, sont des fonctions holomorphes arbitraires de t dans le voisi- 

 nage de t =z o; l'intégrale (i) devra être, dans le voisinage de ^ ^ o, une 

 fonction offrant le caractère d'une fonction algébrique, c'est-à-dire déve- 



loppable suivant les puissances de t" [n étant entier), et le développement 

 ne présentant qu'un nombre limité de puissances négatives de la variable. 

 Si Xq est infini, /^ étant fini, on doit évidemment poser 



'- = fk{f), j-j,^n.,{t). 



Ceci posé, en un point arbitraire {x,j,z), une intégrale de seconde espèce 



l 



(■>-,v,;i 



(^oOu. ^ol 



n'a qu'une seule valeur, abstraction faite d'une somme de multiples de 

 certaines périodes. Le nonibre de ces périodes peut varier avec l'intégrale 

 considérée, mais il y a un nombre maximum de périodes possibles pour 

 les intégrales de seconde espèce, correspondant à une surface donnée 



/(.r,;-, s) = o. 



Désignons ce nombre par N; ce nombre jouit évidemment de la propriété 

 d'invariance, c'est-à-dire qu'il est le même pour deux surfaces qui se cor- 

 respondent point par point. 



» Une application intéressante des généralités qui précèdent peut être 

 faite à inie classe étendue de surfaces. Dans un Mémoire récent [Journal de 

 Mathématiques, i885), j'ai étudié les propriétés les plus simples des fonc- 

 tions hyperabéliennes; toutes les fonctions hyperabeliennes d'un même 

 groupe peuvent s'exprimer rationnellement au moyen de trois d'entre elles 



