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 m'a conduit à deux résultats qui se rapportent à des fonctions arithmé- 

 tiques du mènie genre. En elfet, les expressions des fonctions elliptiques 



donnent pour les coefficients différentiels de leurs logarithmes, pris par 

 rapport à la variable log^, les équations 



d\o^q I — 7 ?.(' — 9') ' — ?' ^(' — 7*) ' ' 



r/log&,(0,7) _ , 1q'- ,47' __ &<l' , 87' 



-I- 



d log7 '■ 1 — 7' 1 — 7' I — ■/' ' — 7'' 



3g^3(o.9)_ ?'7 ^ 47' 67' , 87' 



r;ioi;7 ' + 7 2(1 — 7-) I — 7' I — q* '■■' 



dont la première se change dans la troisième si ion remplace q par — q. 



M En développant les seconds membres suivant les puissances de 7, et 

 en désignant par k{m) la somme des diviseurs impairs, augmentée de la 

 moitié de la somme des diviseurs pairs pour le nombre m, par l{m) la 

 somme des diviseurs impairs, prise négitivement, ajoutée à la somme des 

 diviseurs pairs, les deux premières équations donnent les suivantes : 



7 — 47''+97-'zjz. .. 



I — 27 + 27* — 1q^±. 

 1. il> 



(—9 + 1)7*-!- (—35 + 1)7* +. 



8U' + 7' + 7'' +•••) 



tandis que la troisième équation fournit le même résultat que la pre- 

 mière. Les deux équations renferment des relations récurrentes pour les 

 fonctions k[m) et l{'in), qui les déterminent complètement. Évidemment la 

 règle de la première consiste en ce que la somme 



k[m) — 2k [m — I ) -t- 2 A ( /H — g ) q: . . . , 



continuée tant que les arguments sont positifs, est égale à (— i)'"~^ ni ou 

 à zéro, selon que m est un nombre carré ou non, et la règle de la seconde 

 en ce que la somme 



l[iii) -i-l[m — i) + l{m — 3) -I- l.{m — 6) + ..., 



continuée tant que les arguments sont positifs, est égale à — J7i ou à zéro, 



