( 848 ) 

 tlroites infiniment voisines, se représente par nne forme quadratique des 

 différentielles des trois paramètres dont dépendent les droites du système. 



» Pour qu'un complexe soit sinqulier, c'est-à-dire pour que ses droites 

 aient une enveloppe, il faut et il s'. ffit que le discriminant de cette forme F 

 soit identiquement nul. Cela résulte des travaux de M. Klein, comme aussi 

 des recherches que j'ai développées au tome XI des Aimâtes de l'Ecole 

 Normale, dans un Mémoire sur les propriétés infinitésimales de l'espace ré(jlé. 



» Mais, à quel type de formes à discriminant nul appartient alors le 

 moment élémentaire d'un complexe singulier? Il y a deux cas à distinguer : 



» 1° Si l'enveloppe est une surface, comme c'est le cas général, et ne se 

 réduit ni à une courbe ni à une développable, le moment appartient au 

 type des formes linéo-involutives. 



» 2° Si l'enveloppe est une courbe ou tine développable, Fiin des /acteurs 

 dans lesquels se décompose le moment est intégrable. 



» Delà sorte, le moment élémentaire ne peut être rapporté qu'à deux 

 types canoniques : savoir, pour le premier cas 



(i) hdc-+ ?,dr:\ 



et pour le second 



(a) ' {kcil-hBdr,)(h. 



» Mais, dans l'un et l'autre cas, le quotient - est essentiellement indéjien- 



danl de ^ et r,. 



» La réduction du moment F au type canonique correspond à un im- 

 portant problème de Géométrie. Prenons le premier cas. On trouve que les 

 deux groupes d'équations 



( A =o, j B =o, 



1 dr, = o, I f /ç = o 



représentent chacun une série de développables formées avec les droites 

 osculatrices de la surface enveloppe. La réduction au type canonique (i) 

 répond ainsi à la détermination des lignes asymptotiques de cette surface. 

 » L'existence du type canonique (a) donne la solution complète de ce 

 problème : Sous quelles conditions un complexe est-il formé des sécantes d'une 

 courbe? M. Cayley avait trouvé une condition, que M. Klein a reconnue 

 convenir généralement à tous les complexes singuliers. On voit donc ce 

 qu'il faut ajoutera la condition |de M. Ciyley : il faut et il suffit que l'un 



