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» Il résulte de cette génération que la polhodie est l'intersection de (E) 

 et de l'ellipsoïde, polaire réciproque de (S) par rapport à (E) (' ). 



» Ces deux ellipsoïdes concentriques ont leurs axes dirigés suivant les 

 mêmes droites; l'un des cônes du second degré qui contient leur courbe 

 d'intersection a alors son sommet au centre o et a les mêmes plans princi- 

 paux que (E). On retrouve ainsi cette propriété rappelée plus haut : le cône 

 dont le sommet est an centre o et qui a pour directrice la polhodie {s) est un 

 cône du second degré qui a les mêmes plans principaux que. ( E). 



I) Par suite la polhodie se projette sur ces plans principaux suivant des 

 arcs de coniques; elle n'a ni rayon de courbure nul, ni rayon de courbure 

 infini. 



» Cherchons le plan osculateur en un point quelconque m de la polhodie [s). 



» Appelons y^ le pied de la perpendiculaire abaissée du centre o sur le 

 plan tangent en m à l'ellipsoïde. Les points /j et m sont les points de contact 

 d'un plan tangent commun à (E) et (S). 



w Si l'on déplace infiniment peu ce plan tangent, de façon qu'il reste 

 tangent à (E) et (S), il a pour caractéristique la droite pm, génératrice de 

 la surface développable circonscrite à ces deux surfaces. Après un nouveau 

 déplacement, il coupe pm au point r, où cette droite touche l'arête de re- 

 broussement de cette surface développable. Le point r étant l'intersection 

 de plans qui touchent (E) en trois points infiniment voisins sur [s] est 

 alors le sommet du cône circonscrit à (E) dont le plan de la courbe de 

 contact est le plan osculateur de la polhodie en m. Autrement dit : le point 

 r est, par rapport à l' ellipsoïde, le pôle du plan osculateur de la polhodie en m. 



» Le problème de la construction de ce plan osculateur est ainsi ramené 

 à la détermination du point r. 



» Cherchons ce point : 



» Prenons la normalie à (E), qui a pour directrice la polhodie [s). La 

 tangente mt à la polhodie étant conjuguée de pni, le plan normal à (E), 

 mené par cette dernière droite, est un plan central de cette normalie (^). 



» Il la touche alors en un point e, qui est le point central sur la nor- 

 male en m à (E). 



» Déplaçons infiniment peu ce plan normal, de façon que, restant nor- 

 mal à (E), il passe par la génératrice de la surface développable, qui est 

 infiniment voisine de pm. La caractéristique de ce plan, d'après une pro- 



[') Voir Traité des propriétés projectives de Poncelet, t. II, p. 90. 

 ['■') Foir mon Cours de Géométrie descriptive^ p. 3oo. 



