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 Alors Véqucition de degré minimum^ satisfaite par M, est (a suivante : 



(M - /.,)P(M - p.p)' ... (M - p.^y = o. 



» Je dis, de deux matrices d'ordre n, qu'elles sont de même espèce si 

 elles possèdent les mêmes racines aux mêmes caractéristiques. 



» M e< N étant deux matrices de ntême espèce, on peut toujours assigner des 

 matrices Q, de nullité zéro, telles qu'on ail 



N = Q-'MQ. 



Et, réciproquement, deux matrices M et N, liées par une telle équation, 

 sont de même espèce. 



» De là, on conclut qu'ayant trouvé une seule matrice M d'une certaine 

 espèce, on les a toutes par la formule Q~'MQ, Q étant une matrice quel- 

 conque de nullité zéro. 



» Deux matrices de même espèce satisfont évidemment à la même équa- 

 tion de degré minimum; la réciproque n'a pas toujours lieu. 



» Les entiers a, a,, ..., a-p; |3, |3,, ..., jS^, . .. ; X, X,, ... , X,; ayant été choisis 

 de manière que chacun d'eux soit au moins égal à i, et que les suites 

 (a, , ..., «p), (|3,, .,., /3^), .... ('X,, ..., Xt;) ne soient jamais croissantes, et que, 

 de plus, 



a = a,+..+ ap, p = [3, + .. . + |3,, ..., X = X,+... + Xt, 

 w = a -t- /3 +...+ X, 



je dis qu'j/ existe toujours des matrices d'ordre n, ajant les racines p-^, 

 fXp, .. , fAx aux caractéristiques respectives (a, a,, .. , ap), (|3, /3,, . ., jS^), ..., 

 (X, X,, ...,Xt), les valeurs p.y., p.p, ..., p.x étant arbitraires, mais distinctes entre 

 elles. 



» En effet, on peut trouver une telle matrice M de la manière sui- 

 vante : 



» Je forme d'abord une matrice H d'ordre a. à la racine a°P'*, p.^ caracté- 

 risée par les nombres (oc, a,, ..., «p). 



)) Pour cet effet, désignons par Gp_, — ^.a la matrice zéro, et d'ordre ap, 

 et posons successivement 



(ap-i). («p-2)- 



0...0) ( 0...0 



O ... o ) 



Gp-2 - I^-a = < -^ 



ip- 



O^ 



