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 et en posant 



l(cosTOiisin-r) -; / ccKs — jousin- — - 



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formules où I est pris positif, la deuxième relation (9) donne, vu la valeur 

 ZpR^e"*'' de e, et en différentiant finalement par rapport à /, 



(12) 2R='e-="'/?-^ = Icos(i(-«-T), 2R-rî-=''V-— Isin(/c«-T). 



Quant à la troisième (9), si, au moyen de (12), on y élimine cos{kt -- -r) 

 et sm{kt — t) du résultat d'une différentiation en v, elle devient 



(i5)M^.2A/« + (i + 2B)V, où A = e— ^^log^, B-e-J-, 



et, par suite, la résistance, rapportée à l'imité de masse du fluide déplace, est 



rlV 



(i4) Résistance ==--4 A A- V + (1 + 4B)-^- 



» Toutefois les formules (2) et (9) ne vérifient, en général, la condition 

 d'évanouissement de m, v, p aux distances r infinies que dans les cas de mou- 

 vements «jroif commencé, où F(— co ) -- o, iJj(— co ) — o; et il reste à voir si 

 elles y satisfont dans la supposition présente de mouvements périodiques : 

 ce qu'on reconnaît aisément revenir à prouver que les intégrales dé- 

 finies (11) s'annulent à la limite v — 00 . Or elles s'y annulent bien, en 

 effet; car, sous leur dernière forme (11), le facteur entre parenthèses qui 

 y multiplie cos^p- ou sin^l/S", nul pour (3 = o et pour |3 infini, atteint 



son maximum e ^ pour ^ = e', et il reste, quand v est très grand, insen- 

 sible pour toutes les valeurs finies de p, les seules qui puissent, comme 

 on sait, faire donner par l'autre facteur cos^p- ou sin^,'3- des éléments 

 influents. Ainsi, les deux expressions e^IcosT, e'IsinT s'évanouissent 

 pour V infini. Mais, si 7i désigne toute constante supérieure à zéro, les pro- 

 duits e"^''lcosT, e"'''IsinT grandissent, en général, sans limite, car, dans 



leur expression / (cos^-ou sin '-) e ^ 'i^''^y, l'exponentielle est infinie 



avec V dès que 2|5- dépasse l'inverse de n; et, par suite, si l'on suppose 

 maintenant 72 variable, choisi de manière à donner, par exemple, e"^"l ~ i , 

 sa valeur, — e"-"'logI, tendra vers zéro quand v croîtra : ce qui entraîne, 

 vu sa graduelle variation, que sa dérivée en v, qui est — 2?i -t- A, y tend 



