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MÉCANIQUE. — Sut tlierpolliodie. Note de M. A. de Saixt-Germain. 



« En se fondant sur les propriétés des fonctions elliptiques, M. de Sparre 

 a montré que l'herpolhodie de Poinsot ne présente jamais de points d'in- 

 flexion ni de rebroussement; M. Mannheim vient de reprendre la question 

 géométriquement, mais il semble qu'on puisse encore désirer, pour le théo- 

 rème de M. de Sparre, une démonstration relativement courte et élémen- 

 taire : j'essaye d'en donner une qui présente cet avantage en m'appuyant 

 sur les résultats les plus connus fournis par la Dynamique dans le problème 

 même qui conduit à la considération de l'herpûlhodie. 



)i Considérons un solide qui tourne autour d'un point fixe O sans être 

 sollicité par d'autre force que celle que produit la fixité du point O : l'axe 

 instantané décrit dans le solide un cône S passant par la polhodie et roulant 

 sans glisser sur un cône fixe S, qu'on peut regarder comme ayant pour base 

 l'herpolhodie. Sur les génératrices de S qui doivent constituer l'axe instan- 

 tané aux époques t el t -h dt, je prends deux longueurs Om, On égales à 

 la vitesse angulaire m du solide à l'époque t. Soient R et R, les rayons de 

 courbure des sections faites dans S et S, par un plan perpendiculaire en m 

 à la génératrice Om, à l'instant où les deux cônes se touchent suivant cette 

 droite; un théorème de Cinématique bien connu nous donne 



(i) "''^'^""Ms "^s; 



» Si l'herpolhodie admettait un point d'inflexion, nous pourrions le 

 supposer situé sur la génératrice de S, avec laquelle vient coïncider Om; 

 cette droite et les deux génératrices de S, qui en sont infiniment voisines 

 seraient dans un même plan, R, serait infini, et nous pourrions tirer de 

 l'égalité (i) 



nous allons voir que cette égalité est impossible. 



)) Prenons pour axes coordonnés les axes principaux du solide en O; 

 soient A, B, C les moments d'inertie autour de ces axes, p, q^ r les compo- 

 santes de oj suivant les mêmes droites : ];Oimn est l'aire du triangle qui a 

 pour sommets les points O, m et celui dont les coordonnées sont p -+• dp, 



