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 q ■+■ dq, /•+ dr; on a donc 



i,i-mii = [qdr — r dq)- -{- [r dp — p dr f -+- [pdq — qdpf. 



)) Remplaçons dp, dq, dr par leurs valeurs en fonction de dt données par 

 les équations d'Euler, et ayons égard aux deux intégrales du mouvement 



(3) Ap= + B,7= + C/-=H, AV' + B-^^ + r.-r^^G^; 



nous avons, pour le premier membre de l'égalité ( 2) , 



w^ (U- 



» D'autre part, l'équation connue de S peut se mettre sous la forme 



A(G-- AH)£t" + C(G--BH);--+ C(G=-Gil)z-; 



le rayon de courbure principal R au point m, dont les coordonnées sont p, 

 q, r, peut s'obtenir, soit au moyen de formules générales, soit en écrivant 

 que c'est la distance du point m au point de concours des normales me- 

 nées à S aux points m et n : on trouve 



j^2^ [sAV^G^-AH^p 



A-^B--^C=«» (G'- — Ail)- (G"- — BH)^ (G- — CH)^ 

 » Nous pouvons voir maintenant que l'égalité ( 2 ) revient à la suivante : 



|2AV^G^-AH)^ 

 ^^^ 1 = valeur absolue de (G- -AH)(G--BH)(G='- CH). 



» Supposons A > B > G; on sait que AH — G- et G- — CH sont positifs, 

 tandis que G^ — BH peut être ^o, selon les cas. Si dans 2 A- ^- (G- — AH)^ 

 je remplace q- et r^ par leurs valeurs tirées des équations (3), ou bien p- 

 et q- par les valeurs tirées des mêmes équations, je trouve que le premier 

 membre de l'égalité (4) peut être mis sous l'une des deux formes sui- 

 vantes : 



( (G^ - BH)(G' - CH)[G'' - (B H- G)H] 

 (^^ i +A(A-B)(A-C)[(A + B + GjH-2G^]^% 



( (G^- AH)(G--EH)[G^- (A + B)H] 

 (*^) i -t-C(A-C)(B-C)[(A-l-B + C)H-aG=]r-. 



» Gela posé, soit d'abord G- — BH < o ; on prendra pour le second 



