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» Remarquons, en passant, que la distance au plan osculaleiir, obtenue 

 en développant z suivant les puissances croissantes de dS, est égale à 



I I rfS^ 



-=(P z ou à t: —5 expression déjà donnée par M. Ossian Bonnet. 



» Pour calculer l'infininient petit du quatrième ordre £, qui représente 

 la distance du point (S i- dS) à la sphère osculatrice au point (S), appe- 

 lons p le rayon de cette sphère, a, f-j, y les coordonnées de son centre et 

 p + A|2 le rayon d'une sphère concentrique, passant par le point (S + dS). 



» Soient .r -h Aj:-, 7 + Aj, z -i- Az les coordonnées de ce dernier point. 

 Nous avons rigoureusement 



(p + Ap)^ = (x + A^ - a)- -f- ( J -H Ay - |3)= + (s + A:; - y)'. 



n En développant jusqu'au quatrième ordre, et remarquant que les 

 termes finis doivent disparaître, ainsi que les infiniment petits des trois 

 premiers ordres, il vient 



24p Ap = [x — Cf.) (i' X -\- {j — |3) d'y + (s — 7) d'' z 

 -h?>[d'x- +d'y- -\-d-z') 

 -\- k[dx r/'' X + dy d'j -h dz d'z). 



» D'ailleurs, dans la position particulière attribuée aux axes, on trouve 



immédiatement, en égalant à zéro les infiniment petits des trois premiers 



ordres, 



X — a = o, 



jr~fi = -R, 

 z - 7 = - Ta', 



et l'on en conclut^ après quelques réductions, 



r/S* /R'T' R" 



Cette formule (dans laquelle p = \/R^ + R'- ï") donne la distance cherchée. 

 Si l'on appelle p' la dérivée de p par rapport à S, on peut aussi écrire 



rfS 

 £= -r X 



24 RR'T^ 



» On peut mettre cette expression sous une forme plus élégante, en con- 

 sidérant la courbe décrite par le centre de la sphère osculatrice. 



» Si c/S, désigne l'arc de cette courbe correspondant à dS, et si l'on ap- 



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