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quelques rares exemples font pressentir des diftérences profondes, à cet 

 égarJ, entre les fractions continues et les séries. Un de ces exemples, très 

 remarquable, a été donné par M. Laguerre (*) : il concerne le logarithme 

 intégral, et l'on y voit une fraction continue qui converge, alors que la 

 série correspondante ne converge pas. Le nouvel exemple, dont j'ai à par- 

 ler ici, offre encore cette circonstance; mais il offre aussi la circonstance 

 opposée : des valeurs de la variable, qui font converger la série, font di- 

 verger la fraction continue. 



» Il sera, je crois, possible de faire la théorie générale du développe- 

 ment des fonctions algébriques en fractions continues, au point de vue de 

 la convergence. Dans l'exemple actuel, je dois en avertir, les traits princi- 

 paux de cette théorie générale sont effacés; il présente une simplicité qu'il 

 ne faudra pas s'attendre à retrouver ailleurs. Cet exemple est fourni par le 

 développement de la racine carrée d'un polynôme X, du troisième degré, 

 sous l'une des deux formes 



(i) \lx = a,-h b,x -h ■ 



é.„ 



a, -h b,x-h , 



(3) s/'X = rt, -h btjc 



p,^ • 



h^ ■ 



(3) X=^ qo-h c/^.r -\-'q.,x-~\- q^a:^. 



» La simplicité du résultat, que je vais énoncer, est due essentiellement 

 à la supposition que tes coefficients de X sont réels, ainsi que les trois racines. 

 La théorie serait très différente si, les coefficients étant réels, deux racines 

 étaient imaginaires, 



■ Soient jr, >■ x, >• Xj les (rois racines et A,, A2, A3, A^ les inter- 

 valles (-1- co a;,), {XfXo), (.ToXa), (0-3 — 00 ). 



» La variable x étant supposée imaginaire, les fractions continues (i) et (2) 

 convergent toujours et représentent toutes deux la fonction y/X, rendue 

 uniforme moyennant deux couj)ures rectilignes. Les deux coupures cou- 

 vrent les intervalles A,, A3 si zéro est dans l'un des deux autres; elles cou- 



{£iill. de la Soc. Mathém., l, VII, p. 72; 1879). 



