( i453 ) 

 vrent, au contraire, les intervalles Aj, A., si zéro est clans l'nii des deux 

 premiers. Sur ces coupures seulement, les fractions continues ne con- 

 vergent pas. Nous trouvons donc là des tractions continues qui convergent, 

 alors que la série correspondante diverge. Voici maintenant comment 

 s'offre la circonstance opposée. 



» Tant que la partie imaginaire de x a une valeur finie, la convergence 

 est uniforme, comparable même à celle d'une progression géométrique; 

 mais cette uniformité disparaît quand a: devient réel. Sauf des cas particu- 

 liers, dont je parlerai plus loin, la convergence est alors non uniforme dans 

 tout intervalle. Voici, en termes précis, son caractère : Soient deux nombres 

 arbitraires a, b, dont l'intervalle ne soit pas sur les coupures, d'ailleurs 

 aussi rapprochés qu'on le voudra. Soit aussi m un nombre à volonté. Il 

 existe, entre aelb, des nombres a?, pour lesquels, parmi les réduites de 

 rang supérieur à m, il s'en trouve une rigoureusement égale à — y/X, tan- 

 dis que la fraction continue finit toujours par converger vers -^ ^X. On 

 remarquera que l'intervalle [a, b) peut contenir zéro, en sorte que cette 

 convergence non uniforme, si voisine de la non-convergence, a lieu même 

 pour des valeurs de x plus petites que toute quantité donnée. Ce n'est 

 cependant pas encore l'absence totale de convergence; mais nous allons 

 la trouver dans les cas particuliers que je réservais tout à l'heure. 



» Ces cas particuliers sont caractérisés chacun par une relation algé- 

 brique entre les coefficients de X. Pour le plus simple, voici cette relation : 



(/j) 327-„7:,(4fyo?,7^ - ?' - ^lll->) = (4?29o- 7')'- 



Cette relation ayant lieu, il faut signaler à part une valeur de x 



91 — 4'7o?-2 



5) -^^ 



Çoîs 



Elle est placée dans la région où y/X est développable suivant les puissances 

 ascendantes de x. Pour cette valeur (5) de j?, les réduites de rang i, 6, 

 II ..., (5/2 + i), ■.., dans la fraction continue (i), sont rigoureusement 

 égales à \JX, mais celles de rang 4, 9, i4, . . ., (5« -t- 4), • ■ • sont égales à 

 — >/X. Dans la fraction continue (2), les réduites de rang 3, 8, i3, ..., 

 (5„_l_ 3), ... sont égales à -+- ^X, etcellesderang i, 6, 1 1, ..., (5«-f- i), ... 



à -Vx. 



» Les deux fractions continues sont donc ici divergentes, tandis que la 

 série correspondante converge. 



