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 prendre le signe négatif, et alors la trace tiu pôle instantané sur le plan 

 fixe peut avoir des points d'inflexion. » 



M. Darboux présente, au sujet de cette Communication, la remarque sui- 

 vante : 



« Le résultat remarquable obtenu par M. Franke après d'autres géo- 

 mètres peut se déduire très simplement de la considération directe de 

 l'herpoUiodie relative au roulement d'une surface quelconque du second 

 degré sur un plan. On définit complètement cette courbe, considérée en 

 elle-même et comme trajectoire du pôle instantané, parles deux propriétés 

 suivantes : 



» La vitesse aréolaire du pôle, p^ -ji est une fonction linéaire 



m + np- 

 du carré du rayon vecteur. 



» Le carré de la vitesse totale -y- est une fonction bicarrée de p 



at- ' 



dans laquelle le coefficient h est négatif. 



» En substituant aux constantes m, n, h, k, l leurs valeurs relatives au 

 mouvement particulier que l'on considère et en écrivant l'équation qui 

 détermine les points d'inflexion 



cl 



(p-^) = «' 



on obtient le résultat suivant : 



» a, b, c désignant les carrés des axes de la surface qui roule, rangés par 

 ordre de grandeur, P la quantité 



_ 7.abc 



ab -{- ac -\- uc 



h, P les constantes des forces vives et des aires, il faut et il suffit, pour qu'il 

 y ait des points d'inflexion, que a, b, c, P, j^» rangés par ordre de grandeur, 

 présentent l'une ou l'autre des dispositions suivantes : 



«, ^' /•'> P, c, 

 a, P, b, ^■t c. 



