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(76) 



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» Dans les cas particuliers de sections rectangulaires d'une grande lar- 

 geur constante et de sections circulaires ou demi-circulaires, l'on a §^ = o, 

 les valeurs de S, ^, , J2 se calculent aisément par les équations (74) et 

 (75), où F, et Y ont les valeurs indiquées plus haut (p. 7 et 6), avec F égal 

 soit à I, soit à l'inverse de ï ; et l'on obtient ainsi, pour le rapport de u 

 à Wo, les expressions données aux §§ IX, X, XXVI et XL de mon Essai sur 

 la théorie des eaux courantes (p. go, 94, 246, 266, et 5 16 à 52o). 



» IV. Le second membre de (76), divisé par sa valeur moyenne aux 

 divers points d'une section <:, donnera le rapport ç -|- cj de m à U. On for- 

 mera son excédent sur l'expression de o résultant de (5i) ; et cet excédent 

 réduit à sa partie linéaire par rapport aux trois petites dérivées premières 

 de U en a? et de U et a eu t, sera la fonction ra dans sa partie de première 

 approximation, ou abstraction faite d'écarts comparables aux dérivées 

 d'ordre supérieur de U et c On pourra donc évaluer les petits excès res- 

 pectifs 2(pcy, 3cp^cj du carré et du cube de (p + ra sur ceux de o; et leurs va- 

 leurs moyennes dans toute l'étendue a, savoir 0iv(2cpnj), 311(39-0), seront 

 les petites parties variables des coefficients i -(- v) et a, réduites à leurs termes 

 principaux ou affectés des dérivées premières de U et c. Ce qui s'y trouve 

 ainsi négligé, étantd'un ordre supérieur au premier, aura ses dérivées en x 

 ou en t d'un ordre supérieur au second et, par suite, négligeable, même 

 à une deuxième approximation des lois du mouvement graduellement varié. 



» Il suit delà qu'il suffira, à une deuxième approximation, de substituer 

 dans (aj) et (26), aux dérivées de vi et a qui y figurent, les dérivées ana- 

 logues des expi-essions trouvées pour 3ll(2cpn)) et pour 3rc(3<p-cT). C'est 

 ainsi que, dans le cas d'un cours d'eau à section rectangulaire d'une grande 

 largeur constante, l'on arrivera le plus simplement possible à l'équation de 

 deuxième approximation du mouvement, qui porte le n" 367 dans mon Essai 

 sur la théorie des eaux courantes (§ XXXVI, p. 437) et dont dépend la dé- 

 formation plus ou moins rapide des ondes descendantes ou ascendantes (de 

 courbuie sensible) le long d'un tel courant ( ' ). 



(') Voir aussi les Additions à l'Essai sur la théorie des eaux courantes, p. 55, au 

 Tome suivant XXIV du Recueil des Savants étrangers. 



